【数B】数列：nを自然数とするとき、4^(n+1)+9^nは5の倍数であることを、数学的帰納法を用いて証明せよ。

問題文全文(内容文)：
nを自然数とするとき、

4^{(} n + 1) + 9^{n}

は5の倍数であることを、数学的帰納法を用いて証明せよ。

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単元： #数列#数学的帰納法#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
nを自然数とするとき、

4^{(} n + 1) + 9^{n}

は5の倍数であることを、数学的帰納法を用いて証明せよ。

投稿日：2020.08.21

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問題文全文(内容文)：

4

　正の数列

x_{1}

x_{2}

x_{3}

,...,

x_{n}

,... は以下を満たすとする。

x_{1}

=8,　

x_{n + 1}

\sqrt{1 + x_{n}}

　(

n

=1,2,3,...)
このとき、次の問いに答えよ。
(1)

x_{2}

x_{3}

x_{4}

をそれぞれ求めよ。
(2)すべての

n

≧1について(

x_{n + 1}

α

)(

x_{n + 1}

α

x_{n}

α

　となる定数

α

で、
正であるものを求めよ。
(3)

α

を(2)で求めたものとする。すべての

n

≧1について

x_{n}

＞

α

であることを

n

に関する数学的帰納法で示せ。
(4)極限値

lim_{n \to \infty} x_{n}

を求めよ。

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問題文全文(内容文)：

a_{1} = a_{2} = 1

a_{n + 2} - 5 a_{n + 1} + 6 a_{n} - 6 n = 0

である.
一般項を求めよ.

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問題文全文(内容文)：

1

A, B, C

の3人が色のついた札を1枚ずつ持っている。初めに

A, B, C

の持っている札の色はそれぞれ赤、白、青である。

A

がサイコロを
投げて、3の倍数の目が出たら

A

は

B

と持っている札を交換し、
その他の目が出たら

A

は

C

と札を交換する。この試行を

n

回繰り返し
た後に赤い札を

A, B, C

が持っている確率をそれぞれ

a_{n}, b_{n}, c_{n}

とする。

(1)

n ≧ 2

のとき、

a_{n}, b_{n}, c_{n}

を

a_{n - 1}, b_{n - 1}, b_{n - 1}

で表せ。
(2)

a_{n}

を求めよ。

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無限等比級数

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問題文全文(内容文)：

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \dots = ?

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問題文全文(内容文)：
次の等比数列の一般項を求めよ。
（1）

2, 6, 18, 54 \dots

（2）

1, - \frac{1}{2}, \frac{1}{4} \dots

（3）
第

5

項が

48

、第

8

項が

- 384

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