問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 正の整数$a$を入力すると0以上$a$以下の整数のどれか1つを等しい確率で出力する装置がある。この装置に$a$=10を入力する操作を$n$回繰り返す。出力された$n$個の整数の和が偶数となる確率を$p_n$、奇数となる確率を$q_n$とするとき、以下の問いに答えよ。
(1)$p_1$, $q_1$を求めよ。
(2)$p_{n+1}$を$p_n$, $q_n$を用いて表せ。
(3)$p_n$を$n$の式で表せ。

問題文全文(内容文)：
${\large第3問}$
中にくじが入っている箱が複数あり、各箱の外見は同じであるが、当たりくじ
を引く確率は異なっている。くじ引きの結果から、どの箱からくじを引いた可能
性が対価を、条件付き確率を用いて考えよう。

(1)当たりくじを引く確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$である箱Aと、当たりくじを引く確率が$\displaystyle \frac{1}{3}$
である箱$B$の二つの箱の場合を考える。

$(\textrm{i})$各箱で、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したとき
箱Aにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}$　$\cdots$①
箱Bにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$　$\cdots$②
である。

$(\textrm{ii})$まず、AとBのどちらか一方の箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱
において、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3
回中ちょうど1回当たった。このとき、箱Aが選ばれる事象をA、箱Bが
選ばれる事象をB、3回中ちょうど1回当たる事象をWとすると
$P(A \cap W)=\displaystyle \frac{1}{2}×\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }},$$　P(B \cap W)=\displaystyle \frac{1}{2}×\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$
である。$P(W)=P(A \cap W)+P(B \cap W)$であるから。3回中ちょうど1
回当たった時、選んだ箱がAである条件付き確率$P_W(A)$は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ オカ\ \ }}{\boxed{\ \ キク\ \ }}$と
なる。また、条件付き確率は$P_W(B)$は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}{\boxed{\ \ サシ\ \ }}$となる。
(2)(1)の$P_W(A)$と$P_W(B)$について、次の事実(*)が成り立つ。

事実(*)
$P_W(A)$と$P_W(B)$の$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$は、①の確率と②の確率の$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$
に等しい。

$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$の解答群
⓪和　①2乗の和　②3乗の和　③比　④積

(3)花子さんと太郎さんは事実(*)について話している。
花子:事実(*)はなぜ成り立つのかな?
太郎:$P_W(A)$と$P_W(B)$を求めるのに必要な$P(A \cap W)$と$P(B \cap W)$
の計算で、①,②の確率に同じ数$\displaystyle \frac{1}{2}$をかけているからだよ。
花子:なるほどね。外見が同じ三つの箱の場合は、同じ数$\displaystyle \frac{1}{3}$をかける
ことになるので、同様のことが成り立ちそうだね。

当たりくじを引く確率が、$\displaystyle \frac{1}{2}$である箱$A$、$\displaystyle \frac{1}{3}$である箱$B$、$\displaystyle \frac{1}{4}$である箱
$C$の三つの箱の場合を考える。まず、$A,B,C$のうちどれか一つの箱
をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを1本引いては
もとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。
このとき、選んだ箱がAである条件付き確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ セソタ\ \ }}{\boxed{\ \ チツテ\ \ }}$となる。

(4)花子:どうやら箱が三つの場合でも、条件付き確率の$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$は各箱で
3回中ちょうど1回当たりくじを引く確率の$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$になっている
みたいだね。
太郎:そうだね。それを利用すると、条件付き確率の値は計算しなくて
も、その大きさを比較することができるね。

当たりくじを引く確率が、$\displaystyle \frac{1}{2}$である箱$A$、$\displaystyle \frac{1}{3}$である箱$B$、$\displaystyle \frac{1}{4}$である箱
$C$、$\displaystyle \frac{1}{5}$である箱$D$の四つの箱の場合を考える。まず、$A,B,C,D$のうち
どれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを
1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど
1回当たった。このとき、条件付き確率を用いて、どの箱からくじを
引いた可能性が高いかを考える。可能性が高い方から順に並べると
$\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }}$となる。
$\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }}$の解答群
⓪$A,B,C,D$
①$A,B,D,C$
②$A,C,B,D$
③$A,C,D,B$
④$A,D,B,C$
⑤$B,A,C,D$
⑥$B,A,D,C$
⑦$B,C,A,D$
⑧$B,C,D,A$

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
「数学の「確率」でつまづくポイント」について解説しています。

問題文全文(内容文)：
複数の玉が人った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、nを自然数として、以下の間いに答えよ。
(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},　p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$
( 2 )袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が人っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の球を袋に戻す試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、次式が成り立つ。
$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}},　p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}$
n回目の試行開始時点で袋に人っている玉の個数$M_{ n } はM_{ n }=n+\fbox{ス}$であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数$R_{ n }はR_{ n }=M_{ n }×P_{ n }$と表される。n回目の試行において、黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が施行前と比べて$\fbox{セ}$個増えるため、n+ 1 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は$R_{ n+1 }=R_{ n }+(1-P_{ n })×\fbox{セ}$となる。したがって、
$P_{ n+1 }=\dfrac{n+\fbox{ソ}}{n+\fbox{タ}}×P_{ n }+\dfrac{1}{n+\fbox{チ}}$
が成り立つ。このことから、$(n+3)×(n+\fbox{ツ})×(P_{n}-\dfrac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}})$がnに依らず一定となる事が分かり、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } P_n =\dfrac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$と求められる。

2023杏林大学医過去問

問題文全文(内容文)：
硬貨を何回か投げ、先に表が2回出るとAの勝ちとし、先に裏が4回出るとBの勝ちとするゲームを考える。次の確率を求めよ。
(1)5回目にBが勝つ確率。
(2)A,Bそれぞれの勝つ確率。