福田の数学〜東京医科歯科大学2023年医学部第1問PART2〜格子折れ線の個数を数える

問題文全文(内容文)：

1

　xy平面において、x座標およびy座標が共に整数であるような点を格子点と呼ぶ。xy平面上の相異なる2つの格子点を端点とする折れ線のうち、x座標またはy座標が等しい格子点どうしを結ぶ線分のみから構成され、かつ同じ点を2度通ることはないものを、格子折れ線と呼ぶ。ここで格子折れ線の向きは考慮せず、端点および通過する点がすべて等しい格子折れ線は同じものとする。また、自然数

n

に対し、
0≦

x

≦

n

　かつ　0≦

y

≦1
を満たす格子点全体の集合を

V_{n}

とする。さらに、

V_{n}

に属する格子点をすべて通り、かつ

V_{n}

に属さない格子点は通らない格子折れ線全体の集合を

L_{n}

とする。たとえば、7つの格子点(0,1),(0,0),(1,0),(1,1),(4,1),(4,0),(2,0)を順に結んだ折れ線は

L_{4}

に属する。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)

L_{1}

および

L_{2}

に属する格子折れ線をすべて図示せよ。
(2)

L_{4}

に属する格子折れ線のうち、両端点の

x

座標の差が3以上となるものをすべて図示せよ。
(3)

n

≧3のとき、

L_{n}

に属する格子折れ線のうち、両端点の

x

座標の差が

n

-2となるものの個数を求めよ。
(4)

L_{n}

に属する格子折れ線の個数

l_{n}

を

n

を用いて表せ。

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#東京医科歯科大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

n

に対し、
0≦

x

≦

n

　かつ　0≦

y

≦1
を満たす格子点全体の集合を

V_{n}

とする。さらに、

V_{n}

に属する格子点をすべて通り、かつ

V_{n}

に属さない格子点は通らない格子折れ線全体の集合を

L_{n}

とする。たとえば、7つの格子点(0,1),(0,0),(1,0),(1,1),(4,1),(4,0),(2,0)を順に結んだ折れ線は

L_{4}

に属する。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)

L_{1}

および

L_{2}

に属する格子折れ線をすべて図示せよ。
(2)

L_{4}

に属する格子折れ線のうち、両端点の

x

座標の差が3以上となるものをすべて図示せよ。
(3)

n

≧3のとき、

L_{n}

に属する格子折れ線のうち、両端点の

x

座標の差が

n

-2となるものの個数を求めよ。
(4)

L_{n}

に属する格子折れ線の個数

l_{n}

を

n

を用いて表せ。

投稿日：2023.07.22

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福田の数学〜早稲田大学2022年商学部第２問〜ベクトルに序列を定義して数える

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#空間ベクトル#場合の数#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
空間ベクトルに対し、次の関係を定める。

\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})

と

\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})

が、
次の

(i), (ii), (iii)

のいずれかを
満たしているとき

\vec{a}

は

\vec{b}

より前であるといい、

\vec{a} ≺ \vec{b}

と表す。

(i) a_{1} < b_{1} (ii) a_{1} = b_{1}

かつ

a_{2} < b_{2} (iii) a_{1} = b_{1}

かつ

a_{2} = b_{2}

かつ

a_{3} < b_{3}

空間ベクトルの集合$P=\left{{(x,y,z) | x,y,zは0以上7以下の整数\right}

の 要 素 を 前 か ら 順 に

\overrightarrow{ p_1 },\overrightarrow{ p_2 },\ldots,\overrightarrow{ p_m }

と す る 。 こ こ で 、 m は P に 含 ま れ る 要 素 の 総 数 を 表 す 。 つ ま り 、

P=\left\{\overrightarrow{ p_1 },\overrightarrow{ p_2 },\ldots,\overrightarrow{ p_m }\right\}

で あ り 、

\overrightarrow{ p_n }≺ \overrightarrow{ p_{n+1} }(n=1,2,\ldots,m-1)

を 満 た し て い る 。 次 の 各 設 問 に 答 え よ 。 (1)

\overrightarrow{ p_{67} }

を 求 め よ 。 (2) 集 合

\left\{n\ \ \ | \ \overrightarrow{ p_n }∟(1,0,-2)\right\}$の要素のうちで最大のものを求めよ。

2022早稲田大学商学部過去問

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【数A】【場合の数と確率】並び替え基本1 ※問題文は概要欄

単元： #数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#場合の数と確率#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
・6個の数字1,2,3,4,5,6から異なる4種の数字を使って4桁の整数を作るとき、次のような整数は何個あるか。
(1)4300より大きい整数
(2)5000より大きい整数

・女子5人、男子3人が1列に並ぶとき、次の並び方は何通りあるか。
(1)女子5人が続いて並ぶ。
(2)女子5人、男子3人がそれぞれ続いて並ぶ。
(3)両端が男子である。
(4)どの男子も隣合わない。

・男子4人、女子4人が男女交互に1列に並ぶ方法は何通りあるか。

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2人だけ隣り合う並び方　京都産業大

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
男子3人、女子3人の合わせて6人が1列に並ぶとき、女子のうち2人だけが隣り合う並び方は何通り？
京都産業大学附属中学校・高等学校

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一橋大　確率

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
サイコロを

n

回投げ、

k

回目の目を

a_{k}

。

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} 10^{n - k} a_{k}

次の確率を求めよ。

S_{n}

が
（1）4の倍数
（2）6の倍数
（3）7の倍数

出典：2013年一橋大学　過去問

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福田の数学〜筑波大学2022年理系第２問〜確率漸化式と常用対数

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
整数

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots

を、さいころをくり返し投げることにより、以下のように
定めていく。まず

a_{1} = 1

とする。そして、正の整数

n

に対し、

a_{n + 1}

の値を、n回目に
出たさいころの目に応じて、次の規則で定める。

(規 則)

　n回目に出た目が1,2,3,4なら

a_{n + 1} = a_{n} 、 5, 6

なら

a_{n + 1} = - a_{n}

例えば、さいころを3回投げ、その出た目が順に5,3,6であったとすると、

a_{1} = 1, a_{2} = - 1, a_{3} = - 1, a_{4} = 1

となる。

a_{n} = 1

となる確率を

p_{n}

とする。ただし、

p_{1} = 1

とし、さいころのどの目も、
出る確率は

\frac{1}{6}

であるとする。
(1)

p_{2}, p_{3}

を求めよ。
(2)

p_{n + 1}

を

p_{n}

を用いて表せ。
(3)

p_{n} ≦ 0.5000005

を満たす最小の正の整数nを求めよ。
ただし、

0.47 < \log_{10} 3 < 0.48

であることを用いてよい。

2022筑波大学理系過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜東京医科歯科大学2023年医学部第1問PART2〜格子折れ線の個数を数える

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