問題文全文(内容文)：
極方程式
$r=1+\cos \theta$
$(0\leqq \theta \leqq \pi )$で表される曲線の長さ$l$を求めよ。

出典：2009年京都大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 1}}$　次の媒介変数表示で表された点$P(x,y)$の軌跡を求めよ。

(1)$x={\displaystyle \frac{\cos \theta +\sin \theta }{\sqrt{2}},}$　$y={\displaystyle \frac{\cos \theta -\sin \theta }{\sqrt{2}}}$　($\theta$は任意の実数)

(2)$x={\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2},}$　$y={\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}$　($t$は任意の実数)

問題文全文(内容文)：
xy平面において、次の式が表す曲線をCとする。
$x^2+4y^2=1,x>0,y>0$
PをC上の点とする。PでCに接する直線をlとし、Pを通りlと垂直な直線を
mとして、x軸とy軸とmで囲まれてできる三角形の面積をSとする。PがC
上の点全体をうごくとき、Sの最大値とその時のPの座標を求めよ。

2015東北大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 4}}$座標平面の原点Oを極、x軸の正の部分を始線とする極座標$(r,\theta )$を考える。
$k>0$として、極方程式
$r(\sqrt{\cos \theta }+\sqrt{\sin \theta }{)}^2=k (0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2})$
で表される曲線を$C(k)$とする。曲線$C(k)$上の点を直交座標$(x,y)$で表せばxの
とりうる値の範囲は、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}\leqq x\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$である。
曲線$C(k)$とx軸、y軸で囲まれた図形の面積を$S(k)$とおけば、$S(k)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$
でなる。直交座標が$(\frac{k}{4},\frac{k}{4})$である曲線$C(k)$上の点Aにおける曲線$C(k)$の接線l
の方程式は、$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$となる。曲線$C(k)$と直線l、およびx軸で囲まれた
図形の面積を$T(k)$とおけば、$S(k)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}T(k)$が成り立つ。$0<m<n$を
満たす実数$m,n$に対して、$S(n)-S(m)$が$T(n)$と等しくなるのは、

$\frac{m^2}{n^2}=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}$のときである。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}、\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$の解答群

$\mathrm{⓪}\sqrt{k} \mathrm{①}k \mathrm{②}{k}^2 \mathrm{③}\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{④}\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\mathrm{⑤}\frac{k}{2} \mathrm{⑥}\frac{k}{3} \mathrm{⑦}\frac{k^2}{4} \mathrm{⑧}\frac{k^2}{5} \mathrm{⑨}\frac{k^2}{6}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$の解答群

$\mathrm{⓪}x+\frac{k}{2} \mathrm{①}x+\frac{k}{4} \mathrm{②}-x+\frac{k}{2} \mathrm{③}-x+\frac{k}{4} \mathrm{④}2x-\frac{k}{2}$
$\mathrm{⑤}2x-\frac{k}{4} \mathrm{⑥}2x-\frac{3k}{4} \mathrm{⑦}-2x+\frac{k}{2} \mathrm{⑧}-2x+\frac{k}{4} \mathrm{⑨}-2x+\frac{3k}{4}$

2021明治大学全統過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 4}}$Oを原点とする座標平面において、楕円$D:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$　上に異なる2点$P_1,P_2$
がある。$P_1$における接線$l_1$と$P_2$における接線$l_2$の交点を$Q(a,b)$とし、線分$P_1{P}_2$の
中点をRとする。

(1)$P_1$の座標を$(x_1,y_1)$とするとき、$l_1$の方程式は$x_{1}x+\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}{y}_{1}y+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}=0$
と表される。

(2)直線$P_1{P}_2$の方程式は、a,bを用いて$ax+\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}by+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}=0$と表される。

(3)3点O,R,Qは一直線上にあって$\overrightarrow{OR}=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}}{a^2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}{b}^2}\overrightarrow{OQ}$が成り立つ。

(4)$l_1$と$l_2$のどちらもy軸と平行ではないとする。このとき、$l_1$と$l_2$の傾きは
tの方程式$(a^2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}})t^2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}abt+(b^2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}}})=0$　の解である。

(5)$l_1$と$l_2$が直交しながら$P_1,P_2$が動くとする。
$(\text{i})Q$の軌跡の方程式を求めよ。　　　$(\text{ii})R$のy座標の最大値を求めよ。
$(\text{iii})R$の軌跡の概形を描け。

2021上智大学理系過去問