福田の数学〜早稲田大学2022年教育学部第４問〜３次関数の増減と３次方程式の解

問題文全文(内容文)：

4

自然数

a, b

に対し、3次関数

f_{a, b} (x), g_{a, b} (x)

を

f_{a, b} (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + 3 b x + 8

g_{a, b} (x) = 8 x^{3} + 3 b x^{2} + 3 a x + 1

で定める。次の問いに答えよ。
(1)次の条件

(I) (II)

の両方を満たす自然数の組(a,b)
で

a + b ≦ 9

となるものを全て求めよ。

(I) f_{a, b} (x)

が極値をもつ

(II) g_{a, b} (x)

が極値をもつ
(2)3次方程式

f_{a, b} (x) = 0

の3つの解が

α, β, γ

であるとき
3次方程式

g_{a, b} (x) = 0

の解を

α, β, γ

で表せ。
(3)次の条件

(III)

を満たす自然数の組

(a, b)

で

a + b ≦ 9

となるものを全て求めよ。

(III)

3次方程式

f_{a, b} (x) = 0

が相異なる3つの実数解をもつ。

2022早稲田大学教育学部過去問

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#指数関数と対数関数#微分法と積分法#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#指数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

自然数

a, b

に対し、3次関数

f_{a, b} (x), g_{a, b} (x)

を

f_{a, b} (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + 3 b x + 8

g_{a, b} (x) = 8 x^{3} + 3 b x^{2} + 3 a x + 1

で定める。次の問いに答えよ。
(1)次の条件

(I) (II)

の両方を満たす自然数の組(a,b)
で

a + b ≦ 9

となるものを全て求めよ。

(I) f_{a, b} (x)

が極値をもつ

(II) g_{a, b} (x)

が極値をもつ
(2)3次方程式

f_{a, b} (x) = 0

の3つの解が

α, β, γ

であるとき
3次方程式

g_{a, b} (x) = 0

の解を

α, β, γ

で表せ。
(3)次の条件

(III)

を満たす自然数の組

(a, b)

で

a + b ≦ 9

となるものを全て求めよ。

(III)

3次方程式

f_{a, b} (x) = 0

が相異なる3つの実数解をもつ。

2022早稲田大学教育学部過去問

投稿日：2022.08.14

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y = x^{3}

と

y = (x + 1)^{3} + k

の両方に接する直線が5本引けるような

k

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どちらが大きいか?

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2^{x + 1} + 3^{2 y}

の最大値を求めよ。（a>1）

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜早稲田大学2022年教育学部第４問〜３次関数の増減と３次方程式の解

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