問題文全文(内容文)：
$\vert \overrightarrow{a}\vert=5$である$\overrightarrow{a}$がある。
(1) $\overrightarrow{a}$と同じ向きの単位ベクトルを、$\overrightarrow{a}$を用いて表せ。
(2) $\overrightarrow{a}$と平行で、大きさが3のベクトルを、$\overrightarrow{a}$を用いて表せ。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{1}$

平面上の三角形$OAB$を考える。

$\angle AOB$は鋭角、$OA=3,OB=t$とする。

また、点$A$から直線$OB$に下ろした垂線と

直線$OB$の交点を$C$とし、$OC=1$とする。

線分$AB$を$2:1$に内分する点を$P$、点$A$から

直線$OP$に下ろした垂線と直線$OB$との交点を

$R$とする。

(1)内積$\overrightarrow{OA}･\overrightarrow{OB}$を$t$を用いて表せ。

(2)線分$OR$の長さを$t$を用いて表せ。

(3)線分$OB$の中点を$M$とする。

点$R$が線分$MB$上にあるとき、

$t$のとりうる値の範囲を求めよ。

$2025$年大阪大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
右図において$(r、0)$を点$P$の極座標といい、
点$O$を①、半直線$OX$を②、角$\theta$を③という。

極座標に対して、$x、y$座標の組$(x,y)$を④座標といい、
x= ⑤、y=⑥、$r = \sqrt{x ^ 2 + y ^ 2}$が成り立つ。

平面上の曲線が、極座標$(r,\theta)$を用いた式$r=f(\theta)$または
$F(r,\theta)=0$で表されるとき、この方程式を曲線の極方程式という。

中心が極$O$、半径が$a$の円→⑦
中心が$(a,0)$、半径が$a$の円→⑧
極$O$を通り、始線となす角が$\beta$の直線→⑨

図は動画内参照

問題文全文(内容文)：
$\triangle ABC$の外接円の中心を$O$とし、半径を1とする。
$13\overrightarrow{ OA }+12\overrightarrow{ OB }+5\overrightarrow{ OC }=\vec{ 0 }$であるとき、次の問いに答えよ。
（1）内積$\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }$を求めよ。
（2）$\triangle OAB,\triangle OBC,\triangle OCA$の面積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
①$\overrightarrow{ e }$を単位ベクトルとするとき、$\overrightarrow{ e }$と平行で、大きさが5のベクトルを求めよう。

②$|\vec{ a }|=3$のとき、$\overrightarrow{ a }$と平行な単位ベクトルを求めよう。

③$\overrightarrow{ OA }=\overrightarrow{ a },\overrightarrow{ OB }=\overrightarrow{ b },\overrightarrow{ OP }=6\vec{ a }-3\vec{ b },\overrightarrow{ OQ }=2\vec{ a }+\overrightarrow{ b }$であるとき、$\overrightarrow{ PQ }//\overrightarrow{ AB }$であることを示そう。
ただし、$\overrightarrow{ a }≠0,\overrightarrow{ b }≠0$で、$\overrightarrow{ a }$と$\overrightarrow{ b }$は平行でないものとする。