【数B】空間ベクトル：四面体ABCDに関し、次の等式を満たす点Pはどのような位置にある点か。AP+3BP+4CP+8DP=0

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四面体ABCDに関し、次の等式を満たす点Pはどのような位置にある点か。

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単元： #空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C

教材： #中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

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四面体ABCDに関し、次の等式を満たす点Pはどのような位置にある点か。

投稿日：2020.07.02

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問題文全文(内容文)：
空間内に4点$A(0,0,0),B(2,1,1),C(-2,2,-4),D(1,2,-4)$がある。
（1）
$\angle BAC=\theta$とおくとき、$\cos\theta$の値と$\triangle ABC$の面積を求めよ。

（2）
$\overrightarrow{ AB }$と$\overrightarrow{ AC }$の両方に垂直なベクトルを1つ求めよ。

（3）
点$D$から、3点$A,B,C$を含む平面に垂直な直線を引き、その交点を$E$とするとき、線分$DE$の長さを求めよ。

（4）
四面体$ABCD$の体積を求めよ。

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問題文全文(内容文)：
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$l_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=z-4$
$l_2:\frac{x-2}{a^3}=\frac{y-3}{-b^2}=\frac{z-2}{b-1}$
$l_3:\frac{x-4}{-2a}=\frac{y-2}{b}=\frac{z-1}{a}$
A(1,2,4)　B(2,3,2)　C(4,2,1)
(1)A,B,Cを通る平面πの方程式
(2)$l_1$がπ上にある
(3)$l_2$,$l_3$がπ上にあるa,bの値

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問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 空間内の4点O,A,B,Cは同一平面上にないとする。点D,P,Qを次のように定める。点Dは$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OA}$+$2\overrightarrow{OB}$+$3\overrightarrow{OC}$を満たし、点Pは線分OAを1：2に内分し、点Qは線分OBの中点である。さらに、直線OD上の点Rを、直線QRと直線PCが交点を持つように定める。このとき、線分ORの長さと線分RDの長さの比OR：RDを求めよ。

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問題文全文(内容文)：
座標空間内で点$(3,4,0)$を通り、ベクトル$\vec{ a }=(1,1,1)$に平行な直線$l$、点$(2,-1,0)$を通り、ベクトル$\vec{ b }=(1,-2,0)$に平行な直線$m$とする。
点$P$は直線$l$上を、点$Q$は直線$m$上をそれぞれ勝手に動くとき、線分$PQ$の長さの最小値を求めよ。

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