問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ 実数$a$に対して$f(a)$=$\displaystyle\frac{1}{2}(2^a-2^{-a})$とおく。また、$A$=$2^a$とする。
(1)等式$\displaystyle\left(A-\frac{1}{A}\right)^3$=$\displaystyle\boxed{\ \ ア\ \ }\left(A-\frac{1}{A}\right)^3$－$\displaystyle\boxed{\ \ イ\ \ }\left(A-\frac{1}{A}\right)$　より、実数$a$に対して
$\left\{f(a)\right\}^3$=$\frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}f(3a)$－$\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}f(a)$　...①が成り立つ。
(2)実数$a$,$b$に対して$f(a)$=$b$が成り立つならば、$A$=$2^a$は2次方程式
$A^2$－$\boxed{\ \ キ\ \ }bA$－$\boxed{\ \ ク\ \ }$=0
を満たす。$2^a$>0より、$a$は$b$を用いて
$a$=$\log_2\left(\boxed{\ \ ケ\ \ }b+\sqrt{b^2+\boxed{\ \ コ\ \ }}\right)$　...②
と表せる。つまり、任意の実数bに対して$f(a)$=$b$となる実数$a$が、ただ1つに定まる。
以下、数列$\left\{a_n\right\}$に対して$f(a_n)$=$b_n$　($n$=1,2,3,...)で定まる数列$\left\{b_n\right\}$が、関係式
$4b_{n+1}^3$+$3b_{n+1}$－$b_n$=0　($n$=1,2,3,...)　...③
を満たすとする。
(3)①と③から$f\left(\boxed{\ \ サ\ \ }a_{n+1}\right)$=$f(a_n)$　($n$=1,2,3,...)となるので、(2)より、
$a_n$=$\displaystyle\frac{a_1}{\boxed{\ \ シ\ \ }^{n-p}}$　($n$=1,2,3,...)が得られる。ここで、$p$=$\boxed{\ \ ス\ \ }$である。
(4)$n$≧2に対して、$S_n$=$\displaystyle\sum_{k=2}^n3^{k-1}b_k^3$　とおく。$c_n$=$3^nb_n$　($n$=1,2,3,...)で定まる数列$\left\{c_n\right\}$の階差数列を用いると、③より、
$S_n$=$\frac{\boxed{\ \ セ\ \ }}{\boxed{\ \ ソ\ \ }}b_1$－$\frac{\boxed{\ \ タ\ \ }^n}{\boxed{\ \ チ\ \ }}b_n$　($n$=2,3,4,...)
となる。ゆえに、$b_1$=$\displaystyle\frac{4}{3}S_5$－108　が成り立つならば$a_1$=$\boxed{\ \ ツテト\ \ }\log_2\boxed{\ \ ナ\ \ }$　である。

問題文全文(内容文)：
実数$x$に対して、$x$を越えない最大の整数を$\lbrack x \rbrack$で表す。
$n$を正の整数とし、$a_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n\displaystyle \frac{\lbrack \sqrt{ 2n^2-k^2 } \rbrack}{n^2}$とおく。
このとき、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }a_n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
2つの奇数a,bに対して、$m=11a+b,n=3a+b$とおく。
$m,n$が平方数でないことを証明しなさい。

京都大過去問

問題文全文(内容文)：
右の図(※動画参照)のような平行六面体OABC-DEFGにおいて、
すべての辺の長さは1であり、$\overrightarrow{ OA },\ \overrightarrow{ OC },\ \overrightarrow{ OD }$のどの
2つのなす角も$\frac{\pi}{3}$であるとする。
(1)$\overrightarrow{ OF }$を$\overrightarrow{ OA },\ \overrightarrow{ OC },\ \overrightarrow{ OD }$を用いて表すと、
$\overrightarrow{ OF }= \boxed{き}$である。
(2)$|\overrightarrow{ OF }|,\ \cos \angle AOF$を求めると$|\overrightarrow{ OF }|= \boxed{く},$
$\ \cos \angle AOF=\boxed{け}$である。
(3)三角形ACDを底面とする三角錐OACDを、直線OFの周りに1回転して
できる円錐の体積は$\boxed{こ}$である。
(4)対角線OF上に点Pをとり、$|\overrightarrow{ OP }|=t$とおく。点Pを通り、$\overrightarrow{ OF }$に垂直な平面
をHとする。平行六面体$OABC-DEFG$を平面Hで切った時の断面が六角形
となるようなtの範囲は$\boxed{さ}$である。このとき、平面Hと辺AEの交点をQ
として、$|\overrightarrow{ AQ }|$をtの式で表すと$|\overrightarrow{ AQ }|=\boxed{し}$である。
また、$|\overrightarrow{ PQ }|^2$を$t$の式で表すと
$|\overrightarrow{ PQ }|^2=|\overrightarrow{ OQ }|^2-|\overrightarrow{ OP }|^2=\boxed{す}$
である。
(5)平行六面体$OABC-DEFG$を、直線OFの周りに1回転してできる回転体
の体積は$\boxed{こ}$である。

2022明治大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{e-1} \pi(1+x)^{\pi-1}\sin\{\pi\ log(1+x)\} dx$

出典：日本大学　入試問題