問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 袋が2つ(袋1と袋2)および赤玉2個、白玉4個が用意されている。それぞれの袋に玉が3個ずつ入った状態として、次の3つがあり得る。
状態A：袋1に入っている赤玉が0個である状態
状態B：袋1に入っている赤玉が1個である状態
状態C：袋1に入っている赤玉が2個である状態
上記の各状態に対して、次の2段階からなる操作Tを考える。
操作T：袋1から玉を1個無作為に取り出し、それを袋2に入れる。次に、袋2から玉を1個無作為に取り出し、それを袋1に入れる。
(1)X,YをそれぞれA,B,Cのいずれかとする。状態Xに対し操作Tを1回施した結果、状態Yになる確率をP(X→Y)で表す。このとき、
P(A→A)=$\boxed{\ \ (あ)\ \ }$,　P(A→B)=$\boxed{\ \ (い)\ \ }$,　P(B→A)=$\boxed{\ \ (う)\ \ }$,
P(B→B)=$\boxed{\ \ (え)\ \ }$,　P(C→A)=$\boxed{\ \ (お)\ \ }$,　P(C→B)=$\boxed{\ \ (か)\ \ }$　である。
(2)以下、$n$を自然数とし、状態Bから始めて操作Tを繰り返し施す。操作Tを$n$回施し終えたとき、状態Aである確率を$a_n$、状態Bである確率を$b_n$、状態Cである確率を$c_n$とする。$n$≧2　とするとき、$a_n$,$b_n$,$c_n$と$a_{n-1}$,$b_{n-1}$,$c_{n-1}$の間には次の関係式が成り立つ。
$\left\{\begin{array}{1}
a_n=\boxed{\ \ (あ)\ \ }a_{n-1}+\boxed{\ \ (う)\ \ }b_{n-1}+\boxed{\ \ (お)\ \ }c_{n-1}\\
b_n=\boxed{\ \ (い)\ \ }a_{n-1}+\boxed{\ \ (え)\ \ }b_{n-1}+\boxed{\ \ (か)\ \ }c_{n-1}\\
\end{array}\right.$
したがって$b_n$と$b_{n-1}$の間には次の関係式が成り立つことが分かる。
$b_n$=$\boxed{\ \ (き)\ \ }b_{n-1}$+$\boxed{\ \ (く)\ \ }$
これより、$n$≧1　に対して$b_n$を$n$の式で表すと
$b_n$=$\boxed{\ \ (け)\ \ }$+$\boxed{\ \ (こ)\ \ }(\boxed{\ \ (さ)\ \ })^n$
となる。さらに$d_n$=$\displaystyle\frac{a_n}{(\boxed{\ \ (あ)\ \ })^n}$とおくとき、$d_n$を$n$の式で表すと
$d_n$=$\boxed{\ \ (し)\ \ }\left\{(\boxed{\ \ (す)\ \ })^n-(\boxed{\ \ (せ)\ \ })^n\right\}$
となる。

問題文全文(内容文)：
正の整数nに対して、
$S_n=\sum_{k=1}^n(\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1)$
とする。
(1)正の実数xに対して、次の不等式が成り立つことを示せ。
$\frac{x}{2+x} \leqq \sqrt{1+x}-1 \leqq \frac{x}{2}$

(2)極限値$\lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ。

2022東北大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
同志社大学過去問題
$x+y+z=3 , \quad \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}$のとき
(1)$(x-3)(y-3)(z-3)$の値
(2)$x^3+y^3+z^3$の値

早稲田大学過去問題
$x^3+\frac{1}{x^3}=52$を満たす$x^4+\frac{1}{x^4}$の値

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{1}}$ (3)一辺の長さが2である正四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM、辺BCの中点をNとする。
(i)線分MNの長さは$\boxed{\ \ あ\ \ }$である。
(ii)0＜$s$＜1とし、線分MNを$s$：$(1-s)$に内分する点をPとする。Pを通りMNに垂直な平面で四面体OABCを切った断面は$\boxed{\ \ い\ \ }$であり、その面積は$\boxed{\ \ う\ \ }$である。

$\boxed{\ \ あ\ \ }$の選択肢
(a)1　(b)$\sqrt 2$　(c)$\sqrt 3$　(d)2　(e)$\frac{1+\sqrt 5}{2}$　(f)$\frac{\sqrt 6}{2}$

$\boxed{\ \ い\ \ }$の選択肢
(a)正三角形　(b)正三角形でない二等辺三角形　(c)二等辺三角形でない三角形　(d)長方形　(e)長方形でない平行四辺形　(f)平行四辺形でない四角形

$\boxed{\ \ う\ \ }$の選択肢
(a)$s^2$　(b)$(1-s)^2$　(c)$s(1-s)$　(d)$s\sqrt{1-s^2}$　
(e)$2s^2$　(f)$2(1-s)^2$　(g)$2s(1-s)$　(h)$2s\sqrt{1-s^2}$　
(i)$4s^2$　(j)$4(1-s)^2$　(k)$4s(1-s)$　(l)$4s\sqrt{1-s^2}$　

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{a}^{b} (x-a)^3(x-b) dx$
ただし、$a,b$は定数とする

出典：2023年千葉大学