福田の数学〜名古屋大学2023年理系第４問〜二項係数と整式の展開

問題文全文(内容文)：

4

n

を正の整数とし、

n

次の整式

P_{n} (x)

x (x + 1) . . . (x + n - 1)

を展開して

P_{n} (x)

\sum_{m = 1}^{n}_{n} B_{m} x^{m}

と表す。
(1)等式

\sum_{m = 1}^{n}_{n} B_{m}

n!

を示せ。
(2)等式

P_{n} (x + 1)

\sum_{m = 1}^{n}

(

_{n} B_{m} ・_{m} C_{0}

_{n} B_{m} ・_{m} C_{1} x

+...+

_{n} B_{m} ・_{m} C_{m} x^{m})

を示せ。
ただし、

_{m} C_{0}

_{m} C_{1}

,...,

_{m} C_{m}

は二項係数である。
(3)k=1,2,...,nに対して、等式

\sum_{j = k}^{n}

_{n} B_{j} ・_{j} C_{k}

_{n + 1} B_{k + 1}

を示せ。

2023名古屋大学理系過去問

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

n

を正の整数とし、

n

次の整式

P_{n} (x)

x (x + 1) . . . (x + n - 1)

を展開して

P_{n} (x)

\sum_{m = 1}^{n}_{n} B_{m} x^{m}

と表す。
(1)等式

\sum_{m = 1}^{n}_{n} B_{m}

n!

を示せ。
(2)等式

P_{n} (x + 1)

\sum_{m = 1}^{n}

(

_{n} B_{m} ・_{m} C_{0}

_{n} B_{m} ・_{m} C_{1} x

+...+

_{n} B_{m} ・_{m} C_{m} x^{m})

を示せ。
ただし、

_{m} C_{0}

_{m} C_{1}

,...,

_{m} C_{m}

は二項係数である。
(3)k=1,2,...,nに対して、等式

\sum_{j = k}^{n}

_{n} B_{j} ・_{j} C_{k}

_{n + 1} B_{k + 1}

を示せ。

2023名古屋大学理系過去問

投稿日：2023.06.03

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これを解け.

3^{x} ・ 25^{\frac{1}{x}} ≦ 45

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次の等式を証明せよ。

(a - b)^{3} + 3 a b (a - b) = a^{3} - b^{3}

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次の式の展開式における、[　]内の項の係数を求めよ。
（1）

(x + 3)^{5}

[x^{3}]

（2）

(2 x - 3 y)^{6}

[x^{2} y^{4}]

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問題文全文(内容文)：
次の式が

x

についての恒等式となるように、定数

a, b, c

の値を求めよ。
（1）

3 x^{2} + 8 x + 6 = a (x + 1)^{2} + b (x + 1) + c

（2）

\frac{3}{(x - 1) (2 x + 1)} = \frac{a}{x - 1} + \frac{b}{2 x - 1}

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(1)

(a + b)^{21}

の展開式

a^{18} b^{3}

の係数は

ア

である。

(a + b + c)^{21}

の展開式における

a^{12} b^{3} c^{6}

の係数を求めよ。

2021慶應義塾大学看護医療学部過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜名古屋大学2023年理系第４問〜二項係数と整式の展開

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