整式の除法・分数式・二項定理
整式の除法・分数式・二項定理
次の第1式が第2式で割り切れるように、定数l,mの値を定めよ。(1) x³+lx²+mx+2 ,x²+2x+2 (2) x³+lx²+m ,(x+2)²【数Ⅱ】【式と証明｜整式】
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#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#式と証明#中高教材
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次の第1式が第2式で割り切れるように、定数l、mの値を定めよ。
(1)$x^3+lx^2+mx+2 ,x^2+2x+2$
(2) $x^3+lx^2+m ,(x+2)^2$
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次の第1式が第2式で割り切れるように、定数l、mの値を定めよ。
(1)$x^3+lx^2+mx+2 ,x^2+2x+2$
(2) $x^3+lx^2+m ,(x+2)^2$
【数Ⅱ】【式と証明】x+1/x=4のとき，x²+1/x² ，x³+1/x³ の値を求めよ。
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#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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$x+\dfrac{1}{x}=4$のとき，
$x^2+\dfrac{1}{x^2}$
$x^3+\dfrac{1}{x^3}$
の値を求めよ。
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$x+\dfrac{1}{x}=4$のとき，
$x^2+\dfrac{1}{x^2}$
$x^3+\dfrac{1}{x^3}$
の値を求めよ。
【数Ⅱ】【式と証明】次の式を計算せよ(1)(x+2)/x-(x+3)/(x+1)-(x-5)/(x-3)+(x-6)/(x-4)(2)2/(a-1)(a+1) +2/(a+1)(a+3)+…
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次の式を計算せよ。
(1) $\dfrac{x+2}{x}-\dfrac{x+3}{x+1}-\dfrac{x-5}{x-3}+\dfrac{x-6}{x-4}$
(2)$\dfrac{2}{(a-1)(a+1)}+\dfrac{2}{(a+1)(a+3)}+\dfrac{2}{(a+3)(a+5)}$
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次の式を計算せよ。
(1) $\dfrac{x+2}{x}-\dfrac{x+3}{x+1}-\dfrac{x-5}{x-3}+\dfrac{x-6}{x-4}$
(2)$\dfrac{2}{(a-1)(a+1)}+\dfrac{2}{(a+1)(a+3)}+\dfrac{2}{(a+3)(a+5)}$
【数Ⅱ】【式と証明】次の式を計算せよ(1)2/(1+a)+4/(1+a²)+2/(1-a)+8/(1+a⁴ )(2)ca/(a-b)(b-c) +ab/(b-c)(c-a)+bc/(c-a)(a-b)
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次の式を計算せよ。
(1) $\dfrac{2}{1+a}+\dfrac{4}{1+a^2}+\dfrac{2}{1-a}+\dfrac{8}{1+a^4}$
(2) $\dfrac{ca}{(a-b)(b-c)}+\dfrac{ab}{(b-c)(c-a)}+\dfrac{bc}{(c-a)(a-b)}$
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次の式を計算せよ。
(1) $\dfrac{2}{1+a}+\dfrac{4}{1+a^2}+\dfrac{2}{1-a}+\dfrac{8}{1+a^4}$
(2) $\dfrac{ca}{(a-b)(b-c)}+\dfrac{ab}{(b-c)(c-a)}+\dfrac{bc}{(c-a)(a-b)}$
【数Ⅱ】【式と証明】二項定理を用いて，次のことを証明せよ。ただし，nは3以上の整数とする。（1）(1+1/n)^n＞2（2） x＞0 のとき (1+x)^n＞1+nx+n(n-1)/2 x²
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二項定理を用いて，次のことを証明せよ。
ただし，nは3以上の整数とする。
（1）$(1+\dfrac{1}{n})^n＞2$
（2） x＞0 のとき $(1+x)^n＞1+nx+\dfrac{n(n-1)}{2}x^2$
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二項定理を用いて，次のことを証明せよ。
ただし，nは3以上の整数とする。
（1）$(1+\dfrac{1}{n})^n＞2$
（2） x＞0 のとき $(1+x)^n＞1+nx+\dfrac{n(n-1)}{2}x^2$
【数Ⅱ】【式と証明】次の□に入る数を，二項定理を用いて求めよ。₁₀₁C₀+₁₀₁C₂+₁₀₁C₄＋・・・＋₁₀₁C₉₈+₁₀₁C₁₀₀=2^□
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次の□に入る数を，二項定理を用いて求めよ。
${}_{101} \mathrm{ C }_0+{}_{101} \mathrm{ C }_2+{}_{101} \mathrm{ C }_4+…$$…+{}_{101} \mathrm{ C }_{98}+{}_{101} \mathrm{ C }_{100}=2^□$
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次の□に入る数を，二項定理を用いて求めよ。
${}_{101} \mathrm{ C }_0+{}_{101} \mathrm{ C }_2+{}_{101} \mathrm{ C }_4+…$$…+{}_{101} \mathrm{ C }_{98}+{}_{101} \mathrm{ C }_{100}=2^□$
【数Ⅱ】【式と証明】次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。(1) (x+y+z)⁶ ［x²yz³］(2) (x+2y+3z)⁶ ［x³y²z］
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#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (x+y+z)⁶ ［x²yz³］
(2) (x+2y+3z)⁶ ［x³y²z］
(3) (2x-3y+z)⁷ ［x²y²z³］
(4) (x+y-3z)⁸ ［x⁵z³］
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次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (x+y+z)⁶ ［x²yz³］
(2) (x+2y+3z)⁶ ［x³y²z］
(3) (2x-3y+z)⁷ ［x²y²z³］
(4) (x+y-3z)⁸ ［x⁵z³］
【数Ⅱ】【式と証明】次の式の展開式における、［ ］内のものを求めよ。 (1) (x²+1/x)⁷ ［x²の項の係数］ (2)(2x³-1/3x²)⁵ ［定数項］
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#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
次の式の展開式における、$[ \ ]$ 内のものを求めよ。
(1) $\left(x^2+\frac{1}{x}\right)^7$
[$x^2$ の項の係数]
(2) $\left(2x^3-\frac{1}{3x^2}\right)^5$
[定数項]
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次の式の展開式における、$[ \ ]$ 内のものを求めよ。
(1) $\left(x^2+\frac{1}{x}\right)^7$
[$x^2$ の項の係数]
(2) $\left(2x^3-\frac{1}{3x^2}\right)^5$
[定数項]
【数Ⅱ】【式と証明】次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。(1) (a+b+c)⁶ ［ab²c³］ (2)(x+y-3z)⁸ ［x⁵yz²］
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#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (a+b+c)⁶ ［ab²c³］ (2)(x+y-3z)⁸ ［x⁵yz²］
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次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (a+b+c)⁶ ［ab²c³］ (2)(x+y-3z)⁸ ［x⁵yz²］
【数Ⅱ】【式と証明】次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。(1) (2x²-1)⁶ ［x⁶］ (2)(2x³-3x)⁵ ［x⁹］
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次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (2x²-1)⁶ ［x⁶］ (2)(2x³-3x)⁵ ［x⁹］
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次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (2x²-1)⁶ ［x⁶］ (2)(2x³-3x)⁵ ［x⁹］
【数Ⅱ】【式と証明】AをBで割った商と余りを求めよ。(1)A=2x³+7ax²+5a²x+6a³、 B=x+3a(2)A=x³-3ax²+4a³、B=x²-2ax-2a²(3)A=x⁴+x²y²+y⁴
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次の式A、Bをxについての多項式とみて、AをBで割った商と余りを求めよ。
(1)A=2x³+7ax²+5a²x+6a³、 B=x+3a
(2)A=x³-3ax²+4a³、 B=x²-2ax-2a²
(3)A=x⁴+x²y²+y⁴、 B=x²+xy+y²
(4)A=2x²+4xy-3y²-5x+2y-1、 B=x+y+2
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次の式A、Bをxについての多項式とみて、AをBで割った商と余りを求めよ。
(1)A=2x³+7ax²+5a²x+6a³、 B=x+3a
(2)A=x³-3ax²+4a³、 B=x²-2ax-2a²
(3)A=x⁴+x²y²+y⁴、 B=x²+xy+y²
(4)A=2x²+4xy-3y²-5x+2y-1、 B=x+y+2
【数Ⅱ】【式と証明】次の式を因数分解せよ。(1) x³-3x²+6x-8 (2)8a³-36a²b+54ab²-27b³
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#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#式と証明#中高教材
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問題文全文(内容文)：
次の式を因数分解せよ。
(1) x³-3x²+6x-8 (2)8a³-36a²b+54ab²-27b³
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次の式を因数分解せよ。
(1) x³-3x²+6x-8 (2)8a³-36a²b+54ab²-27b³
【数Ⅱ】【式と証明】（a+b+c)³を展開せよ。
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#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#式と証明#中高教材
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問題文全文(内容文)：
（a+b+c)³を展開せよ。
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（a+b+c)³を展開せよ。
間違い説明できる？
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#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
この計算の解き方を解説していきます。
$\dfrac{x^2+3}{x^2}$
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この計算の解き方を解説していきます。
$\dfrac{x^2+3}{x^2}$
福田のおもしろ数学564〜1分チャレンジ！数値計算
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#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\dfrac{2025^3+2024^3+3\cdot 2025\cdot 2024-1}{2026^2+2025^2+1}$
を計算して下さい。
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$\dfrac{2025^3+2024^3+3\cdot 2025\cdot 2024-1}{2026^2+2025^2+1}$
を計算して下さい。
福田のおもしろ数学553〜部分分数分解を工夫してやろう
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#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$\dfrac{1}{1\cdot 2 \cdot 4}+\dfrac{1}{2\cdot 3 \cdot 5}+\dfrac{1}{3\cdot 4 \cdot 6}+\cdots$
の第$n$項までの和を求めて下さい。
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$\dfrac{1}{1\cdot 2 \cdot 4}+\dfrac{1}{2\cdot 3 \cdot 5}+\dfrac{1}{3\cdot 4 \cdot 6}+\cdots$
の第$n$項までの和を求めて下さい。
福田のおもしろ数学546〜1分チャレンジ！数値計算の計算
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#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
次の計算をして下さい。
$\dfrac{1}{1+1^2+1^4}+\dfrac{2}{1+2^2+2^4}+\dfrac{3}{1+3^2+3^4}+\cdots + \dfrac{50}{1+50^2+50^4}$
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次の計算をして下さい。
$\dfrac{1}{1+1^2+1^4}+\dfrac{2}{1+2^2+2^4}+\dfrac{3}{1+3^2+3^4}+\cdots + \dfrac{50}{1+50^2+50^4}$
福田のおもしろ数学540〜二項係数の2乗の和
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#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
${{}_n \mathrm{ C }_0}^2+{{}_n \mathrm{ C }_1}^2+{{}_n \mathrm{ C }_2}^2+\cdots + {{}_n \mathrm{ C }_n}^2=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}$
を証明してください。
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${{}_n \mathrm{ C }_0}^2+{{}_n \mathrm{ C }_1}^2+{{}_n \mathrm{ C }_2}^2+\cdots + {{}_n \mathrm{ C }_n}^2=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}$
を証明してください。
福田のおもしろ数学502〜(n/10)^(n/10)の最小となるnを求める
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#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\left(\dfrac{n}{10}\right)^{\frac{n}{10}}$を最小にする
自然数$n$を求めて下さい。
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$\left(\dfrac{n}{10}\right)^{\frac{n}{10}}$を最小にする
自然数$n$を求めて下さい。
【数B】【数列】自然数の式の証明3 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
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問題文全文(内容文)：
$n$は自然数とする。
$6^n+4= (5+1)^n+4$と変形することで、$6^n+4$が$5$の倍数であることを、二項定理を利用して証明せよ。
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$n$は自然数とする。
$6^n+4= (5+1)^n+4$と変形することで、$6^n+4$が$5$の倍数であることを、二項定理を利用して証明せよ。
福田のおもしろ数学446〜分数式の値が整数となるnをすべて求める
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#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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$\dfrac{n}{1!}+\dfrac{n^2}{2!}+\dfrac{n^3}{3!}+\cdots +\dfrac{n^{n-1}}{(n-1)!}+\dfrac{n^n}{n!}$
が整数になるような
正の整数$n$をすべて求めて下さい。
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$\dfrac{n}{1!}+\dfrac{n^2}{2!}+\dfrac{n^3}{3!}+\cdots +\dfrac{n^{n-1}}{(n-1)!}+\dfrac{n^n}{n!}$
が整数になるような
正の整数$n$をすべて求めて下さい。
福田のおもしろ数学439〜整数変数の分数式が整数となる条件
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#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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$m,n$が整数であるとき
$\dfrac{m^2+n^2}{mn}$
の取りうるすべての整数値を求めよ。
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$m,n$が整数であるとき
$\dfrac{m^2+n^2}{mn}$
の取りうるすべての整数値を求めよ。
福田のおもしろ数学432〜ガウス記号を含んだ式が成り立たない条件
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#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$n+\left[\dfrac{n}{2}\right] \neq \left[\dfrac{n}{6}\right]+\left[\dfrac{2n}{3}\right]$
を満たす自然数$n$をすべて求めよ。
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$n+\left[\dfrac{n}{2}\right] \neq \left[\dfrac{n}{6}\right]+\left[\dfrac{2n}{3}\right]$
を満たす自然数$n$をすべて求めよ。
福田のおもしろ数学397〜与えられた連分数が整数になれないことの証明
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#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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$\begin{eqnarray}
1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+n}}}
\end{eqnarray}$
は整数になれない。証明して下さい。
＊$n$は整数である。
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$\begin{eqnarray}
1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+n}}}
\end{eqnarray}$
は整数になれない。証明して下さい。
＊$n$は整数である。
【数Ⅱ】【式と証明】分数式の計算 ※問題文は概要欄
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次の式を計算せよ。
(1) $\dfrac{2}{1+a}+\dfrac{4}{1+a^2}+\dfrac{2}{1-a}+\dfrac{8}{1+a^4}$
(2) $\dfrac{ca}{(a-b)(b-c)}+\dfrac{ab}{(b-c)(c-a)}+\dfrac{bc}{(c-a)(a-b)}$
次の式を計算せよ。
(1) $\dfrac{x+2}{x}-\dfrac{x+3}{x+1}-\dfrac{x-5}{x-3}+\dfrac{x-6}{x-4}$
(2)$\dfrac{2}{(a-1)(a+1)}+\dfrac{2}{(a+1)(a+3)}+\dfrac{2}{(a+3)(a+5)}$
$x+\dfrac{1}{x}=4$のとき，
$x^2+\dfrac{1}{x^2}$
$x^3+\dfrac{1}{x^3}$
の値を求めよ。
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次の式を計算せよ。
(1) $\dfrac{2}{1+a}+\dfrac{4}{1+a^2}+\dfrac{2}{1-a}+\dfrac{8}{1+a^4}$
(2) $\dfrac{ca}{(a-b)(b-c)}+\dfrac{ab}{(b-c)(c-a)}+\dfrac{bc}{(c-a)(a-b)}$
次の式を計算せよ。
(1) $\dfrac{x+2}{x}-\dfrac{x+3}{x+1}-\dfrac{x-5}{x-3}+\dfrac{x-6}{x-4}$
(2)$\dfrac{2}{(a-1)(a+1)}+\dfrac{2}{(a+1)(a+3)}+\dfrac{2}{(a+3)(a+5)}$
$x+\dfrac{1}{x}=4$のとき，
$x^2+\dfrac{1}{x^2}$
$x^3+\dfrac{1}{x^3}$
の値を求めよ。
【数Ⅱ】【式と証明】二項定理の活用 ※問題文は概要欄
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次の□に入る数を，二項定理を用いて求めよ。
${}_{101} \mathrm{ C }_0+{}_{101} \mathrm{ C }_2+{}_{101} \mathrm{ C }_4+…$$…+{}_{101} \mathrm{ C }_{98}+{}_{101} \mathrm{ C }_{100}=2^□$
二項定理を用いて，次のことを証明せよ。
ただし，nは3以上の整数とする。
（1）$(1+\dfrac{1}{n})^n＞2$
（2） x＞0 のとき $(1+x)^n＞1+nx+\dfrac{n(n-1)}{2}x^2$
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次の□に入る数を，二項定理を用いて求めよ。
${}_{101} \mathrm{ C }_0+{}_{101} \mathrm{ C }_2+{}_{101} \mathrm{ C }_4+…$$…+{}_{101} \mathrm{ C }_{98}+{}_{101} \mathrm{ C }_{100}=2^□$
二項定理を用いて，次のことを証明せよ。
ただし，nは3以上の整数とする。
（1）$(1+\dfrac{1}{n})^n＞2$
（2） x＞0 のとき $(1+x)^n＞1+nx+\dfrac{n(n-1)}{2}x^2$
【数Ⅱ】【式と証明】展開式の係数 ※問題文は概要欄
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問題文全文(内容文)：
次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (2x²-1)⁶ ［x⁶］ (2)(2x³-3x)⁵ ［x⁹］
次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (a+b+c)⁶ ［ab²c³］ (2)(x+y-3z)⁸ ［x⁵yz²］
次の式の展開式における、［ ］内のものを求めよ。
(1) (x²+1/x)⁷ ［x²の項の係数］ (2)(2x³-1/3x²)⁵ ［定数項］
次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (x+y+z)⁶ ［x²yz³］
(2) (x+2y+3z)⁶ ［x³y²z］
(3) (2x-3y+z)⁷ ［x²y²z³］
(4) (x+y-3z)⁸ ［x⁵z³］
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次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (2x²-1)⁶ ［x⁶］ (2)(2x³-3x)⁵ ［x⁹］
次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (a+b+c)⁶ ［ab²c³］ (2)(x+y-3z)⁸ ［x⁵yz²］
次の式の展開式における、［ ］内のものを求めよ。
(1) (x²+1/x)⁷ ［x²の項の係数］ (2)(2x³-1/3x²)⁵ ［定数項］
次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (x+y+z)⁶ ［x²yz³］
(2) (x+2y+3z)⁶ ［x³y²z］
(3) (2x-3y+z)⁷ ［x²y²z³］
(4) (x+y-3z)⁸ ［x⁵z³］
【数Ⅱ】【式と証明】3次式の展開、因数分解、割り算 ※問題文は概要欄
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(a+b+c)³を展開せよ。
次の式を因数分解せよ。
(1) x³-3x²+6x-8 (2)8a³-36a²b+54ab²-27b³
次の式A,Bをxについての多項式とみて、AをBで割った商と余りを求めよ。
(1)A=2x³+7ax²+5a²x+6a³, B=x+3a
(2)A=x³-3ax²+4a³, B=x²-2ax-2a²
(3)A=x⁴+x²y²+y⁴, B=x²+xy+y²
(4)A=2x²+4xy-3y²-5x+2y-1, B=x+y+2
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(a+b+c)³を展開せよ。
次の式を因数分解せよ。
(1) x³-3x²+6x-8 (2)8a³-36a²b+54ab²-27b³
次の式A,Bをxについての多項式とみて、AをBで割った商と余りを求めよ。
(1)A=2x³+7ax²+5a²x+6a³, B=x+3a
(2)A=x³-3ax²+4a³, B=x²-2ax-2a²
(3)A=x⁴+x²y²+y⁴, B=x²+xy+y²
(4)A=2x²+4xy-3y²-5x+2y-1, B=x+y+2
福田のおもしろ数学368〜多項式と二項係数の関係式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$P_k(x)=1+x+x^2+\cdots +x^{k-1}$のとき、
$\displaystyle \sum^n_{k=1}{} _nC_kP_k(x)=2^{n-1}P_n(\dfrac{1+x}2)$
が成り立つことを証明せよ。
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$P_k(x)=1+x+x^2+\cdots +x^{k-1}$のとき、
$\displaystyle \sum^n_{k=1}{} _nC_kP_k(x)=2^{n-1}P_n(\dfrac{1+x}2)$
が成り立つことを証明せよ。
頻出！「あれ」を利用して余りを求める！
単元：
#数A#数Ⅱ#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
21^2015を400で割ったときの余りを求めよ。
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21^2015を400で割ったときの余りを求めよ。