問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$　(5)$t$を実数とする。座標空間において、3点O(0,0,0), A(1,0,2), B(2,-1,0)の定める平面OAB上に点C($t$+1,$t$,1-$t$)があるとき、$t$=$\boxed{\ \ オ\ \ }$である。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 直方体OABC－DEFGにおける各辺の長さは
OA=CB=DE=GF=1
AB=OC=EF=DG=$\sqrt 2$
OD=AE=BF=CG=$\sqrt 3$
である。点Bから3点O, E, Gを含む平面に下ろした垂線の足をHとする。このとき、$\overrightarrow{\textrm{OH}}$=$\displaystyle\frac{\boxed{ケ}}{\boxed{コ}}\overrightarrow{\textrm{OE}}$+$\displaystyle\frac{\boxed{サ}}{\boxed{シ}}\overrightarrow{\textrm{OG}}$ と表すことができ、$|\overrightarrow{\textrm{BH}}|^2$=$\displaystyle\frac{\boxed{ス}}{\boxed{セ}}$ である。

問題文全文(内容文)：
四面体OABCにおいて、△ABCの重心をG、辺OAの中点をMとし、OGと△MBCの交点をHとすると、OH:OG=3:4であることを示せ

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 座標空間内の4点O(0,0,0), A(2,0,0), B(1,1,1), C(1,2,3)を考える。
(1)$\overrightarrow{OP}\bot\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OP}\bot\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OP}\bot\overrightarrow{OC}$=1　を満たす点Pの座標を求めよ。
(2)点Pから直線ABに垂線を下ろし、その垂線と直線ABの交点をHとする。
$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表せ。
(3)点Qを$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$により定め、Qを中心とする半径rの球面Sを考える。Sが三角形OHBと共有点を持つようなrの範囲を求めよ。ただし、三角形OHBは3点O, H, Bを含む平面内にあり、周とその内部からなるものとする。

2023東京大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\fbox{2} xyz$ 空間において、点$\mathrm{ A }( 1, 0, 0 )$, $\mathrm{ B }(0, 1, 0)$, $\mathrm{ C }(-1, 0, 0)$, $\mathrm{ D }(0, 0, 1)$ をとり、線分 $\mathrm{ CD }$の中点を$\mathrm{ M }$とする。さらに、$\mathrm{ N }$を線分$\mathrm{ BD }$上の点とする。また、$z$軸と平行でない直線上の異なる2点$\mathrm{ P }(x, y, z), \mathrm{ Q }(x', y', z')$ に対して
$\frac{z' - z}{\sqrt{(x' - x) ^ 2 + (y' - y) ^ 2}}$をベクトル$\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }$の勾配と呼ぶ。$\overrightarrow{ \mathrm{ AN } }$の勾配を$t_1$、$\overrightarrow{ \mathrm{ NM } }$の勾配を$t_2$とするとき、
以下の各問いに答えよ。
(1) $t_2 = 0$ となるように$\mathrm{ N }$をとったとき、$t_1$の値を求めよ。
(2) $l = |\overrightarrow{ \mathrm{ AN } }|+|\overrightarrow{ \mathrm{ NM } }|$とし、$l$が最小となるように$\mathrm{ N }$をとったとき、$l$の値を求めよ。
(3) $0 \leqq t_{2} \leqq t_{1}$ となるように$\mathrm{ N }$をとったとき、$\mathrm{ N }$の$y$座標を$s$とする。$s$がとりうる値の範囲を求めよ。