問題文全文(内容文)：
動画内の図のように同時に玉を1個入れ替える
$n$回目に$A$に赤1個、白3個となっている確率$P_n$を求めよ

出典：一橋大学　過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 2}}$ 黒玉3個、赤玉4個、白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。
(1)どの赤玉も隣り合わない確率pを求めよ。
(2)どの赤玉も隣り合わないとき、どの黒玉も隣り合わない条件付き確率qを求めよ。

2023東京大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
Oを原点とする座標平面上に点Pがある。最初、Pは原点Oにあり、1個のサイコロを1回投げるごとに次の(規則)に従ってPを動かす。
(規則)
・1,2いずれかの目が出たときはx軸の正の方向に1だけ動かす。
・3の目が出たときはx軸の正の方向に2だけ動かす。
・4,5,6いずれかの目が出たときはy軸の正の方向に1だけ動かす。
例えば、さいころを2回投げて、1回目に2の目、2回目に5の目が出たとき、Pは O(0,0)→点(1,0)→点(1,1) と動く。
(1)サイコロを3回投げたとき、Pの座標が(3,0)である確率を求めよ。
(2)サイコロを3回投げたとき、Pのy座標が2である確率を求めよ。
(3)サイコロを6回投げたとき、Pの座標が(5,2)である確率を求めよ。
(4)サイコロを6回投げたとき、Pのx座標が5であったという条件のもとで、Pのy座標が2である条件付き確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 2}}$ $n$を自然数とする。以下の問いに答えよ。
(1)1個のサイコロを投げて出た目が必ず$n$の約数となるような$n$で最小のものを求めよ。
(2)1個のサイコロを投げて出た目が$n$の約数となる確率が${\displaystyle \frac{5}{6}}$であるような$n$で最小のものを求めよ。
(3)1個のサイコロを3回投げて出た目の積が20の約数となる確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 4}}$ あるくじ引き店には、くじが10本入っている箱が5箱ある。5箱のうち4箱には当たりくじが1本、はずれくじが9本入っており、この4箱を「通常の箱」と呼ぶ。また、残りの1箱には当たりくじが5本、はずれくじが5本入っており、この箱を「有利な箱」と呼ぶ。通常の箱と有利な箱は見た目は同じであり、見分けることはできない。
(i)まず、Aが店に入り、5箱のうちの1箱を無作為に選び、その箱からくじを1本引いた。Aの選んだ箱が通常の箱であり、かつ、引いたくじがはずれである確率は$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}\mathrm{エ}}}}$である。また、Aの選んだ箱が有利な箱であり、かつ、引いたくじがはずれである確率は$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}}$である。したがって、Aの引いたくじがはずれであったときに、Aの選んだ箱が有利な箱である確率は$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}\mathrm{コ}}}}$である。
(ii)(i)の後、Aは引いたくじをもとの箱に戻し、よくかき混ぜたあと、同じ箱からもう一度くじを1本引いた。Aの引いたくじが1回目、2回目ともにはずれであったときに、Aの選んだ箱が有利な箱である確率は$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}\mathrm{シ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}\mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}}$である。
(iii)(ii)の後、Aは引いたくじをもとの箱に戻して店を出た。その後、BとCが店に入った。Bは5箱のうち1箱を無作為に選び、CはBが選ばなかった4箱の中から1箱を無作為に選んだ。BはAと同じように、自分の選んだ箱からくじを1本引き、それをもとの箱に戻し、よくかき混ぜた後、同じ箱からもう一度くじを1本引いた。また、Cは自分の選んだ箱からくじを1本引いた。Bの引いたくじが1回目、2回目ともにはずれであり、かつ、Cが引いたくじが当たりであったときに、Bの選んだ箱が有利な箱である確率は$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}\mathrm{チ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}\mathrm{テ}\mathrm{ト}}}}$であり、Cの選んだ箱が有利な箱である確率は$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}\mathrm{ニ}\mathrm{ヌ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}\mathrm{ノ}\mathrm{ハ}}}}$である。