福田の数学〜上智大学2023年理工学部第1問(3)〜正四面体を切った断面 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜上智大学2023年理工学部第1問(3)〜正四面体を切った断面

問題文全文(内容文):
1 (3)一辺の長さが2である正四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM、辺BCの中点をNとする。
(i)線分MNの長さは    である。
(ii)0<s<1とし、線分MNをs(1s)に内分する点をPとする。Pを通りMNに垂直な平面で四面体OABCを切った断面は    であり、その面積は    である。

    の選択肢
(a)1 (b)2 (c)3 (d)2 (e)1+52 (f)62

    の選択肢
(a)正三角形 (b)正三角形でない二等辺三角形 (c)二等辺三角形でない三角形 (d)長方形 (e)長方形でない平行四辺形 (f)平行四辺形でない四角形

    の選択肢
(a)s2 (b)(1s)2 (c)s(1s) (d)s1s2 
(e)2s2 (f)2(1s)2 (g)2s(1s) (h)2s1s2 
(i)4s2 (j)4(1s)2 (k)4s(1s) (l)4s1s2 
単元: #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#学校別大学入試過去問解説(数学)#空間における垂直と平行と多面体(オイラーの法則)#上智大学#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
1 (3)一辺の長さが2である正四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM、辺BCの中点をNとする。
(i)線分MNの長さは    である。
(ii)0<s<1とし、線分MNをs(1s)に内分する点をPとする。Pを通りMNに垂直な平面で四面体OABCを切った断面は    であり、その面積は    である。

    の選択肢
(a)1 (b)2 (c)3 (d)2 (e)1+52 (f)62

    の選択肢
(a)正三角形 (b)正三角形でない二等辺三角形 (c)二等辺三角形でない三角形 (d)長方形 (e)長方形でない平行四辺形 (f)平行四辺形でない四角形

    の選択肢
(a)s2 (b)(1s)2 (c)s(1s) (d)s1s2 
(e)2s2 (f)2(1s)2 (g)2s(1s) (h)2s1s2 
(i)4s2 (j)4(1s)2 (k)4s(1s) (l)4s1s2 
投稿日:2023.09.23

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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
2 図のような1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHにおいて、辺AD上に点Pをとり、線分APの長さをpとする。このとき、線分AGと線分FPは四角形ADGF上で交わる。その交点をXとする。(※図は動画参照)
(1)線分AXの長さをpを用いて表せ。
(2)三角形APXの面積をpを用いて表せ。
(3)四面体ABPXと四面体EFGXの体積の和をVとする。
Vをpを用いて表せ。
(4)点Pを辺AD上で動かすとき、Vの最小値を求めよ。

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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
4 四面体OABCがあり、辺OA, OB, OCの長さはそれぞれ13, 5, 5である。
OAOB=OAOC=1, OBOC=-11 とする。頂点OからABCを含む平面に下ろした垂線とその平面の交点をHとする。以下の問いに答えよ。
(1)線分ABの長さを求めよ。
(2)実数s, tOH=OA+sAB+tAC を満たすように定めるとき、stの値を求めよ。
(3)四面体OABCの体積を求めよ。

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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
2 中心O、半径1の球に内接する四面体で、その4頂点T1, T2, T3, T4が次の条件(i), (ii)を満たすものを考える。
(i)|T1T2|=3
(ii)k(OT1+OT2)+OT3+OT4=0
ここで、kは2未満の正の実数とする。次の設問に答えよ。
(1)線分T3T4の中点をMとしたとき、\triangleT1T2Mの面積をkを用いて表せ。
(2)各kに対し、上の条件を満たす四面体の体積の最大値をV(k)とする。V(k)が最大になるときのkの値を求めよ。
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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
3 座標空間内の原点Oを中心とする半径rの球面S上に4つの頂点がある四面体ABCDが
OA+OB+OC+OD=0
を満たしているとする。また三角形ABCの重心をGとする。
(1)OGODを用いて表せ。
(2)OAOB+OBOC+OCOArを用いて表せ。
(3)点Pが球面S上を動くとき、PAPB+PBPC+PCPAの最大値をrを用いて表せ。さらに、最大値をとるときの点Pに対して、|PG|をrを用いて表せ。

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