福田のおもしろ数学383〜関数方程式

問題文全文(内容文)：

0

以上の整数の集合を

N

_{0}

とする。

f :

N

_{0}

→

N

_{0}

が任意の

x ≧ y \in

N

_{0}

で

f (x^{2}) - f (y^{2}) = f (x + y) f (x - y)

を満たす。

f (x)

を求めよ。

単元： #数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

0

以上の整数の集合を

N

_{0}

とする。

f :

N

_{0}

→

N

_{0}

が任意の

x ≧ y \in

N

_{0}

で

f (x^{2}) - f (y^{2}) = f (x + y) f (x - y)

を満たす。

f (x)

を求めよ。

投稿日：2025.01.19

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単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

A, B, C

の3人が色のついた札を1枚ずつ持っている。初めに

A, B, C

の持っている札の色はそれぞれ赤、白、青である。

A

がサイコロを
投げて、3の倍数の目が出たら

A

は

B

と持っている札を交換し、
その他の目が出たら

A

は

C

と札を交換する。この試行を

n

回繰り返し
た後に赤い札を

A, B, C

が持っている確率をそれぞれ

a_{n}, b_{n}, c_{n}

とする。

(1)

n ≧ 2

のとき、

a_{n}, b_{n}, c_{n}

を

a_{n - 1}, b_{n - 1}, b_{n - 1}

で表せ。
(2)

a_{n}

を求めよ。

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京都大　漸化式　超基本問題 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 0,

a_{2} = 1

　一般項を求めよ

(n - 1)^{2} a_{n} = S_{n} (n ≧ 1)

出典：2002年京都大学　過去問

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静岡大　数学的帰納法　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#数列#数学的帰納法#静岡大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
静岡大学過去問題
n自然数
(1)

4^{n + 1} + 5^{2 n - 1}

は21で割り切れることを証明
(2)次の条件を満たす定数でない多項式f(x)を推定し、その推定が正しいことを証明せよ。
(a)f(4)=21
(b)すべての自然数nに対し

x^{n + 1} + (x + 1)^{2 n - 1}

はf(x)で割り切れる。

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ちょっと複雑な漸化式

単元： #数列#漸化式#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
一般項を求めよ.

a_{1} = 2

a_{n + 1} = 30_{n} - 4 n + 2^{n} + 4

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【高校数学】和の記号・シグマの公式の証明 3-8.5【数学Ｂ】

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

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問題文全文(内容文)：
次式を証明せよ。

\sum_{i = 1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)

\sum_{i = 1}^{n} k^{3} = {\frac{1}{2} n (n + 1)}^{2}

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