問題文全文(内容文)：
$a_1=1$
$a_{n+1}=2^{n^2-25n-12}{a}_n$

（1）
一般項を求めよ

（2）
$a_n>1$となる最小の$n$

出典：山梨大学　過去問

問題文全文(内容文)：
$f(x)=\log (x+1)+1$とする。以下の問いに答えよ。
(1)方程式$f(x)=x$は、$x>0$の範囲でただ1つの解を
もつことを示せ。
(2)(1)の解を$\alpha$とする。実数$x$が$0<x<\alpha$を満たすならば、
次の不等式が成り立つことを示せ。
$0<\frac{\alpha -f(x)}{\alpha -x}<f^{\prime }(x)$
(3)数列$\left\{x_n\right\}$を
$x_1=1, x_{n+1}=f(x_n) (n=1,2,3,\dots \dots )$
で定める。このとき、全ての自然数nに対して
$\alpha -x_{n+1}<\frac{1}{2}(\alpha -x_n)$
が成り立つことを示せ。
(4)(3)の数列$\left\{x_n\right\}$について、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\alpha$を示せ。

2022大阪大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}4\mathrm{問}$
[1]自然数$n$に対して、$S_n=5^n-1$とする。さらに、数列$\left\{a_n\right\}$の初項から
第$n$項までの和が$S_n$であるとする。このとき、$a_1=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$である。また
$n\geqq 2$のとき
$a_n=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}\mathrm{・}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}^{n-1}$
である。この式は$n=1$の時にも成り立つ。
上で求めたことから、すべての自然数$n$に対して
$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{a_k}={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}\mathrm{カ}}}}(1-{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}^{-n})}}$
が成り立つことが分かる。

[2]太郎さんは和室の畳を見て、畳の敷き方が何通りあるかに興味を持った。
ちょうど手元にタイルがあったので、畳をタイルに置き換えて、
数学的に考えることにした。
縦の長さが1、横の長さが2の長方形のタイルが多数ある。
それらを縦か横の向きに、隙間も重なりもなく敷き詰めるとき、
その敷き詰め方をタイルの「配置」と呼ぶ。

上の図(※動画参照)のように、縦の長さが3,横の長さが$2n$の長方形を$R_n$とする。
$3n$枚のタイルを用いた$R_n$内の配置の総数を$r_n$とする。
$n=1$のときは、下の図(※動画参照)のように$r_1=3$である。

また、$n=2ｎ4$ときは、下の図(※動画参照)のように$r_2=11$である。

(1)太郎さんは次のような図形$T_n$内の配置を考えた。
$(3n+1)$枚のタイルを用いた$T_n$内の配置の総数を$t_n$とする。$n=1$
のときは、$t_1=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}$である。
さらに、太郎さんは$T_n$内の配置について、右下隅のタイルに注目して
次のような図(※動画参照)をかいて考えた。

この図(※動画参照)から、2以上の自然数$n$に対して
$t_n=A{r}_n+B{t}_{n-1}$
が成り立つことが分かる。ただし、$A=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}, B=\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}$である。
以上から、$t_2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}\mathrm{シ}}}$であることが分かる。
同様に、$R_n$の右下隅のタイルに注目して次のような図(※動画参照)をかいて考えた。

この図(※動画参照)から、2以上の自然数$n$に対して
$r_n=C{r}_{n-1}+D{t}_{n-1}$
が成り立つことが分かる。ただし、$C=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}, D=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}$である。

(2)畳を縦の長さが1,　横の長さが2の長方形と見なす。縦の長さが3,　横の長さが6
の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、敷き詰め方の総数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}\mathrm{タ}}}$である。
また、縦の長さが、横の長さがの長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、
敷き詰め方の総数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}\mathrm{ツ}\mathrm{テ}}}$である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k}$
$S_n=2a_n+4n-3(n=1,2,3,\cdots )$ のとき$a_n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 2}}$ $n$ を正の整数とし、1,2,3,4,5,6の6個の数字から同じ数字を繰り返し用いることを許して$n$桁の整数をつくる。このような整数のうち、1が奇数個用いられるものの総数を$A_n$、それ以外のものの総数を$B_n$とする。
また、1か6がいずれも奇数個用いられるものの総数を$C_n$とする。次の問いに答えよ。
(1)$A_4$を求めよ。
(2)正の整数$n$に対して、$A_{n+1}$を$A_n$と$B_n$を用いて表せ。
(3)正の整数$n$に対して、$A_n$と$B_n$を求めよ。
(4)$p$を定数とする。$X_1=p$,$X_{n+1}=2X_n+6^n$($n$=1,2,3,...)で定められる
数列を$\left\{X_n\right\}$とする。正の整数$n$に対して、$X_n$を$n$と$p$を用いて表せ。
(5)正の整数$n$に対して、$C_n$を求めよ。

2021北里大学医学部過去問