問題文全文(内容文)：
これを解け.

(1)$t^2\dfrac{d^2x}{dt^2}+t\dfrac{dx}{dt}-x=0$

(2)$t^2\dfrac{d^2x}{dt^2}-3t\dfrac{dx}{dt}+3x=0$

問題文全文(内容文)：
$\sin\ x$について$x=a$における微分係数は$\cos\ a$であるが、これを定義に従って求めてみよう。
そのために次の順序で各問いに答えよ。
（1）
$0 \lt x \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$のとき$0 \lt \sin\ x \lt x \lt \tan\ x$が成り立つことを図を用いて説明せよ。
（図は座標平面上の原点を中心とする半径1の円の第1象限の部分を用いよ。）

（2）
$\displaystyle \lim_{ x \to 0 }\displaystyle \frac{\sin\ x}{x}=1,\ \displaystyle \lim_{ x \to 0 }\displaystyle \frac{1-\cos\ x}{x}=0$を示せ。

（3）
関数$f(x)$の$x=a$における微分係数$f'(a)$の定義を述べ、その定義に従って$f(x)=\sin\ x$の場合に$f'(a)$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
曲線$C:y=e^x$を考える。
(1)$a,b$を実数とし、$a \geqq 0$とする。曲線Cと直線$y=ax+b$が共有点をもつため
のaとbの条件を求めよ。
(2)正の実数tに対し、C上の点$A(t,e^t)$を中心とし、直線$y=x$に接する円Dを
考える。直線$y=x$と円Dの接点Bのx座標は$\boxed{\ \ タ\ \ }$であり、
円Dの半径は$\boxed{\ \ チ\ \ }$である。線分ABを3:2に内分する点をPとし、Pのx座標、y座標
をそれぞれX(t),Y(t)とする。このとき、等式
$\lim_{t \to \infty}\frac{Y(t)-kX(t)}{\sqrt{\left\{X(t)\right\}^2+\left\{Y(t)\right\}^2}}=0$
が成り立つような実数kを定めると$k=\boxed{\ \ ツ\ \ }$である。
ただし、$\lim_{t \to \infty}te^{-t}=0$である。

2022慶應義塾大学理工学部過去問

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【数学III・小技】∫esinxdxの簡単な求め方

問題文全文(内容文)：
2⃣
(1)$y=x^x(x>0)$
$\frac{dy}{dx}$を求めよ。
(2)$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{\sqrt n}( \frac{1}{\sqrt (n+1)} +\frac{1}{\sqrt (n+2)} + \cdots + \frac{1}{\sqrt (2n)} )$