微分法
微分法
高校数学：数学検定準1級2次：問題7 関数の増減と変曲点
単元：
#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#微分とその応用#微分法#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$f(x)＝\displaystyle \frac{2x－1}{x^2－x＋1}$
について、次の問いに答えなさい。
(1) f(x)の増減を調べ、その極値を求めなさい。また、極値をとるときのxの値も求めなさい。
(2) xy平面における曲線y＝f(x)は３個の変曲点をもちます(このことを証明する必要はありません)。これらの変曲点の座標をすべて求めなさい。
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$f(x)＝\displaystyle \frac{2x－1}{x^2－x＋1}$
について、次の問いに答えなさい。
(1) f(x)の増減を調べ、その極値を求めなさい。また、極値をとるときのxの値も求めなさい。
(2) xy平面における曲線y＝f(x)は３個の変曲点をもちます(このことを証明する必要はありません)。これらの変曲点の座標をすべて求めなさい。
【演習！】不等式の証明での微分の使い方について解説しました！【数学III】
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
3rd School
問題文全文(内容文)：
$x≧0$をみたす全ての実数$x$について
$x-\frac{x^3}{6}≦\sin x$
が成り立つことを示せ
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$x≧0$をみたす全ての実数$x$について
$x-\frac{x^3}{6}≦\sin x$
が成り立つことを示せ
【割り算の微分】商の微分の導出について解説しました！【数学III】
【数Ⅲ】微分法：整式の次数に着目して解く問題
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
f(x)は0でない整式で次を満たすとする。
・xf''(x) + (1 - x)f'(x) + 3f(x) = 0
・f(0) = 1
（１）f(x)の次数を求めよ
（２）f(x)を求めよ
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f(x)は0でない整式で次を満たすとする。
・xf''(x) + (1 - x)f'(x) + 3f(x) = 0
・f(0) = 1
（１）f(x)の次数を求めよ
（２）f(x)を求めよ
【数Ⅲ】東大の文系の問題を微分で解いてみた【東京大学】【数学 入試問題】
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
kを正の実数とし,二次方程式$x^{2}+x-k=0$の二つの実数解を、$\alpha,\beta$とする。
$kがk＞2$の範囲を動くとき,
$\displaystyle \frac{\alpha^{3}}{1-\beta}+\displaystyle \frac{\beta^{3}}{1-\alpha}$の最小値を求めよ。
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kを正の実数とし,二次方程式$x^{2}+x-k=0$の二つの実数解を、$\alpha,\beta$とする。
$kがk＞2$の範囲を動くとき,
$\displaystyle \frac{\alpha^{3}}{1-\beta}+\displaystyle \frac{\beta^{3}}{1-\alpha}$の最小値を求めよ。
【数Ⅲ】微分法の応用：平均値の定理の定番問題の解説
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4STEP(4ステップ）数学#4STEP数学Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
α、β：実数
次の不等式を証明せよ。
｜sinα－sinβ｜≦｜α－β｜
（出典）数研出版 ４STEP数学Ⅲより
定期テスト対策に活用してみてくださいね。
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α、β：実数
次の不等式を証明せよ。
｜sinα－sinβ｜≦｜α－β｜
（出典）数研出版 ４STEP数学Ⅲより
定期テスト対策に活用してみてくださいね。
数Ⅲ微分！絶対に落としたくない問題です【一橋大学】【数学 入試問題】
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
$x>0$に対して,$(1+x)^{\frac{1}{x}}<e<(1+x)^{\frac{1}{x}+1}$が成り立つことを示せ。
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$x>0$に対して,$(1+x)^{\frac{1}{x}}<e<(1+x)^{\frac{1}{x}+1}$が成り立つことを示せ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系108〜変化率(3)水の問題(2)
単元：
#微分とその応用#微分法#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 変化率(3) 水の問題(2)\\
右図(※動画参照)のような直円錐の容器に水が満たされている。下側から2cm^3/秒\\
の割合で水が流出する。水面の高さが8cmになった瞬間の水面の下降する\\
速度と水面の面積が減少する速度を求めよ。\\
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 変化率(3) 水の問題(2)\\
右図(※動画参照)のような直円錐の容器に水が満たされている。下側から2cm^3/秒\\
の割合で水が流出する。水面の高さが8cmになった瞬間の水面の下降する\\
速度と水面の面積が減少する速度を求めよ。\\
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系105〜絶対不等式(3)
単元：
#微分とその応用#微分法#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 絶対不等式(3)\\
0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2}であるすべてのxについて\\
\sin x\cos x \leqq kk(\sin^2x+3\cos^2x)\\
が成り立つような実数kの最小値を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 絶対不等式(3)\\
0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2}であるすべてのxについて\\
\sin x\cos x \leqq kk(\sin^2x+3\cos^2x)\\
が成り立つような実数kの最小値を求めよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系104〜絶対不等式(2)
単元：
#微分とその応用#微分法#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 絶対不等式(2)\\
\sqrt x+\sqrt y \leqq k\sqrt{2x+y}\\
が任意の正の実数x,yに対して成り立つような実数k\\
の値の範囲を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 絶対不等式(2)\\
\sqrt x+\sqrt y \leqq k\sqrt{2x+y}\\
が任意の正の実数x,yに対して成り立つような実数k\\
の値の範囲を求めよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系103〜絶対不等式(1)
単元：
#微分とその応用#微分法#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 絶対不等式(1)\\
a^x \geqq x \\
が任意の正の実数xに対して成り立つような\\
正の定数aの値の範囲を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 絶対不等式(1)\\
a^x \geqq x \\
が任意の正の実数xに対して成り立つような\\
正の定数aの値の範囲を求めよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系102〜大小比較(2)
単元：
#微分とその応用#微分法#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 大小比較(2)\\
(1)x \gt 0のとき\log(1+\frac{1}{x})と\frac{1}{x+1}の大小を比較せよ。\\
(2)(1+\frac{2001}{2002})^{\frac{2002}{2001}}と(1+\frac{2002}{2001})^{\frac{2001}{2002}}の大小を比較せよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 大小比較(2)\\
(1)x \gt 0のとき\log(1+\frac{1}{x})と\frac{1}{x+1}の大小を比較せよ。\\
(2)(1+\frac{2001}{2002})^{\frac{2002}{2001}}と(1+\frac{2002}{2001})^{\frac{2001}{2002}}の大小を比較せよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系101〜大小比較(1)
単元：
#微分とその応用#微分法#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 大小比較(1)\\
999^{1000}と1000^{999}\\
の大小を比較せよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 大小比較(1)\\
999^{1000}と1000^{999}\\
の大小を比較せよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系100〜不等式の証明(7)
単元：
#微分とその応用#微分法#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(7)\\
e^a(b-a) \lt e^b-e^a \lt e^b(b-a)\\
(ただし、a \lt b)
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(7)\\
e^a(b-a) \lt e^b-e^a \lt e^b(b-a)\\
(ただし、a \lt b)
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系099〜不等式の証明(6)
単元：
#微分とその応用#微分法#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(6)\hspace{170pt}\\
0 \lt a \lt b \lt \frac{\pi}{2}のとき、\frac{a}{b} \lt \frac{\sin a}{\sin b}が成り立つことを証明せよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(6)\hspace{170pt}\\
0 \lt a \lt b \lt \frac{\pi}{2}のとき、\frac{a}{b} \lt \frac{\sin a}{\sin b}が成り立つことを証明せよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系098〜不等式の証明(5)
単元：
#微分とその応用#微分法#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(5)\\
b(\log a-\log b) \leqq a-b (a \gt 0, b \gt 0)を証明せよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(5)\\
b(\log a-\log b) \leqq a-b (a \gt 0, b \gt 0)を証明せよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系097〜不等式の証明(4)
単元：
#微分とその応用#微分法#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(4)\\
(x+2)\log(x+1) \geqq 2x (x \geqq 0)を証明せよ。\\
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(4)\\
(x+2)\log(x+1) \geqq 2x (x \geqq 0)を証明せよ。\\
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系096〜不等式の証明(3)
単元：
#微分とその応用#微分法#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(3)\\
\sqrt{ab} \lt \frac{b-a}{\log b-\log a} \lt \frac{a+b}{2} (0 \lt a \lt b)を証明せよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(3)\\
\sqrt{ab} \lt \frac{b-a}{\log b-\log a} \lt \frac{a+b}{2} (0 \lt a \lt b)を証明せよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系095〜不等式の証明(2)
単元：
#微分とその応用#微分法#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(2)\\
x\log x \geqq (x-1)\log(x+1) (x \geqq 1)を証明せよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(2)\\
x\log x \geqq (x-1)\log(x+1) (x \geqq 1)を証明せよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系094〜不等式の証明(1)
単元：
#微分とその応用#微分法#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(1)\hspace{100pt}\\
\cos x \lt 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24} (x \gt 0)を証明せよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(1)\hspace{100pt}\\
\cos x \lt 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24} (x \gt 0)を証明せよ。
\end{eqnarray}
【数Ⅲ】微分法：媒介変数で表された関数の2回微分
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
xの関数yが、θを媒介変数として、x=cosθ-1、y=2sinθ+1と表される時、d²y/dx²をθの関数として表そう。
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xの関数yが、θを媒介変数として、x=cosθ-1、y=2sinθ+1と表される時、d²y/dx²をθの関数として表そう。
福田の数学〜青山学院大学2021年理工学部第５問〜絶対値の付いた関数と面積の最大最小
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}} tを0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}を満たす定数とする。関数\\
f(x)=|\sin x-\sin t| (0 \leqq x \leqq \pi)\\
について、以下の問いに答えよ。\\
(1)t=\frac{\pi}{6}のときy=f(x) (0 \leqq x \leqq \pi)のグラフを描け。\\
\\
(2)y=f(x) (0 \leqq x \leqq \pi)のグラフとx軸、y軸および直線x=\pi\\
で囲まれた図形の面積をSとする。Sをtを用いて表せ。\\
\\
(3)tが\leqq t \leqq \frac{\pi}{2}の範囲を動くときのSの最大値と最小値を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}} tを0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}を満たす定数とする。関数\\
f(x)=|\sin x-\sin t| (0 \leqq x \leqq \pi)\\
について、以下の問いに答えよ。\\
(1)t=\frac{\pi}{6}のときy=f(x) (0 \leqq x \leqq \pi)のグラフを描け。\\
\\
(2)y=f(x) (0 \leqq x \leqq \pi)のグラフとx軸、y軸および直線x=\pi\\
で囲まれた図形の面積をSとする。Sをtを用いて表せ。\\
\\
(3)tが\leqq t \leqq \frac{\pi}{2}の範囲を動くときのSの最大値と最小値を求めよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系062〜微分(7)多重因子(1)
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 微分(7) 多重因子(1)\\
整式f(x)が(x-\alpha)^3で割り切れる\iff f(a)=f'(a)=f''(a)=0\\
であることを示せ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 微分(7) 多重因子(1)\\
整式f(x)が(x-\alpha)^3で割り切れる\iff f(a)=f'(a)=f''(a)=0\\
であることを示せ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系060〜微分(5)陰関数の微分(2)
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 微分(5) 陰関数の微分(2)\\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 上の点(p,q)での接線の方程式\\
は \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1 であることを示せ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 微分(5) 陰関数の微分(2)\\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 上の点(p,q)での接線の方程式\\
は \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1 であることを示せ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系059〜微分(4)陰関数の微分
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 微分(4) 陰関数の微分\\
\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1について\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2}を\\
xとyを用いて表せ。ただし、y≠0とする。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 微分(4) 陰関数の微分\\
\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1について\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2}を\\
xとyを用いて表せ。ただし、y≠0とする。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系054〜連続と微分可能(5)
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 連続と微分可能(5)\\
f(x)=\left\{
\begin{array}{1}
x^3+px (x \geqq 2)\\
qx^2-px (x \lt 2)
\end{array}\right.
がx=2に\\
おいて微分可能となるp,qを求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 連続と微分可能(5)\\
f(x)=\left\{
\begin{array}{1}
x^3+px (x \geqq 2)\\
qx^2-px (x \lt 2)
\end{array}\right.
がx=2に\\
おいて微分可能となるp,qを求めよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系053〜極限(53)連続と微分可能(4)
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 連続と微分可能(4)\\
f(x)=\left\{\begin{array}{1}
x^2\sin\displaystyle\frac{1}{x} (x≠0)\\
0 (x=0)\\
\end{array}\right. のx=0に\\
おける連続性、微分可能性を調べよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 連続と微分可能(4)\\
f(x)=\left\{\begin{array}{1}
x^2\sin\displaystyle\frac{1}{x} (x≠0)\\
0 (x=0)\\
\end{array}\right. のx=0に\\
おける連続性、微分可能性を調べよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系052〜極限(52)連続と微分可能(3)
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 連続と微分可能(3)\\
f(x)=\left\{\begin{array}{1}
x\sin\displaystyle\frac{1}{x} (x≠0)\\
0 (x=0)\\
\end{array}\right. のx=0に\\
おける連続性、微分可能性を調べよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 連続と微分可能(3)\\
f(x)=\left\{\begin{array}{1}
x\sin\displaystyle\frac{1}{x} (x≠0)\\
0 (x=0)\\
\end{array}\right. のx=0に\\
おける連続性、微分可能性を調べよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系051〜極限(51)連続と微分可能(2)
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 連続と微分可能(2)\\
f(x)=\left\{\begin{array}{1}
\sin\displaystyle\frac{1}{x} (x≠0)\\
0 (x=0)
\end{array}\right.
のx=0に\\
おける連続性、微分可能性を調べよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 連続と微分可能(2)\\
f(x)=\left\{\begin{array}{1}
\sin\displaystyle\frac{1}{x} (x≠0)\\
0 (x=0)
\end{array}\right.
のx=0に\\
おける連続性、微分可能性を調べよ。
\end{eqnarray}
福田の数学〜早稲田大学2021年商学部第１問(2)〜整式と不等式
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)nを正の整数とする。f(x)はxのn+1次式で表される関数で、xが0以上\\
n以下の整数のときf(x)=0であり、f(n+1)=n+1である。このとき、\\
\\
\sum_{k=0}^n\frac{(1-\sqrt2)^k}{f'(k)} \gt 2^{2021}\\
\\
を満たす最小のnは\boxed{\ \ イ\ \ }である。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)nを正の整数とする。f(x)はxのn+1次式で表される関数で、xが0以上\\
n以下の整数のときf(x)=0であり、f(n+1)=n+1である。このとき、\\
\\
\sum_{k=0}^n\frac{(1-\sqrt2)^k}{f'(k)} \gt 2^{2021}\\
\\
を満たす最小のnは\boxed{\ \ イ\ \ }である。
\end{eqnarray}