問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$$\quad$関数$f(x)$を$x\geqq 0$に対して
$f(x)=x\log(1+x)$と定める。
(1)不定積分$\displaystyle \int x\log(1+x)dx$を求めよ。
(2)$y=f(x) \quad (x\geqq 0)$の逆関数を
$y=g(x) \quad (x\geqq 0)$とする。
また、$a,b$を$g(a)=1,g(b)=2$となる
実数となる。
このとき定積分$I=\displaystyle \int_{a}{b} g(x)dx$の値を求めよ。
(3)関数$P(x)$を$x\geqq 0$に対して
$P(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}\sqrt{1+f(t)dt}$と定める。
このとき、$y=P(x)$について、
定義域を$x\geqq 0$とする逆関数
$y=Q(x)$が微分可能であることは
説明なしに認めてよい。
関数$R(x)$を$x\geqq 0$に対して
$R(x)=\displaystyle int_{0}^{P(x)}\dfrac{1}{Q'(\upsilon)}$と定めるとき、
$R(x)$を求めよ。
図は動画内参照
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)理系過去問題
$\boxed{1}$$\quad$関数$f(x)$を$x\geqq 0$に対して
$f(x)=x\log(1+x)$と定める。
(1)不定積分$\displaystyle \int x\log(1+x)dx$を求めよ。
(2)$y=f(x) \quad (x\geqq 0)$の逆関数を
$y=g(x) \quad (x\geqq 0)$とする。
また、$a,b$を$g(a)=1,g(b)=2$となる
実数となる。
このとき定積分$I=\displaystyle \int_{a}{b} g(x)dx$の値を求めよ。
(3)関数$P(x)$を$x\geqq 0$に対して
$P(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}\sqrt{1+f(t)dt}$と定める。
このとき、$y=P(x)$について、
定義域を$x\geqq 0$とする逆関数
$y=Q(x)$が微分可能であることは
説明なしに認めてよい。
関数$R(x)$を$x\geqq 0$に対して
$R(x)=\displaystyle int_{0}^{P(x)}\dfrac{1}{Q'(\upsilon)}$と定めるとき、
$R(x)$を求めよ。
図は動画内参照
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)理系過去問題
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$$\quad$関数$f(x)$を$x\geqq 0$に対して
$f(x)=x\log(1+x)$と定める。
(1)不定積分$\displaystyle \int x\log(1+x)dx$を求めよ。
(2)$y=f(x) \quad (x\geqq 0)$の逆関数を
$y=g(x) \quad (x\geqq 0)$とする。
また、$a,b$を$g(a)=1,g(b)=2$となる
実数となる。
このとき定積分$I=\displaystyle \int_{a}{b} g(x)dx$の値を求めよ。
(3)関数$P(x)$を$x\geqq 0$に対して
$P(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}\sqrt{1+f(t)dt}$と定める。
このとき、$y=P(x)$について、
定義域を$x\geqq 0$とする逆関数
$y=Q(x)$が微分可能であることは
説明なしに認めてよい。
関数$R(x)$を$x\geqq 0$に対して
$R(x)=\displaystyle int_{0}^{P(x)}\dfrac{1}{Q'(\upsilon)}$と定めるとき、
$R(x)$を求めよ。
図は動画内参照
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)理系過去問題
$\boxed{1}$$\quad$関数$f(x)$を$x\geqq 0$に対して
$f(x)=x\log(1+x)$と定める。
(1)不定積分$\displaystyle \int x\log(1+x)dx$を求めよ。
(2)$y=f(x) \quad (x\geqq 0)$の逆関数を
$y=g(x) \quad (x\geqq 0)$とする。
また、$a,b$を$g(a)=1,g(b)=2$となる
実数となる。
このとき定積分$I=\displaystyle \int_{a}{b} g(x)dx$の値を求めよ。
(3)関数$P(x)$を$x\geqq 0$に対して
$P(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}\sqrt{1+f(t)dt}$と定める。
このとき、$y=P(x)$について、
定義域を$x\geqq 0$とする逆関数
$y=Q(x)$が微分可能であることは
説明なしに認めてよい。
関数$R(x)$を$x\geqq 0$に対して
$R(x)=\displaystyle int_{0}^{P(x)}\dfrac{1}{Q'(\upsilon)}$と定めるとき、
$R(x)$を求めよ。
図は動画内参照
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)理系過去問題
投稿日：2025.02.25
