福田の数学〜慶應義塾大学2024年薬学部第2問〜放物線と円が接する条件と面積

問題文全文(内容文)：

2

原点をOとする

x y

平面上に円

x^{2}

y^{2}

－

12 y

=0 があり、円の中心をPとする。
円周上に動点Qがあり、半直線POを始線とする動径PQの回転角を

θ

とする。
ただし、

θ

は

- \frac{π}{2}

＜

θ

＜

\frac{π}{2}

を満たす実数とする。
(1)直線PQを表す方程式は、

θ

=0 のとき

ソ

であり、

θ

≠0 のとき

タ

である。
(2)点Qを通る放物線

y

a x^{2}

b

をおく。点Qにおける放物線の接線は、点Qにおける円の接線と一致する。ただし、

a

b

は実数であり、

a

は

a

＞0 を満たす。
(i)

θ

≠0 のとき

a

と

b

を

θ

で表すと、

a

チ

b

ツ

である。
(ii)

θ

- \frac{π}{3}

のとき、直線PQと放物線で囲まれる部分の面積は

テ

である。

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

原点をOとする

x y

平面上に円

x^{2}

y^{2}

－

12 y

=0 があり、円の中心をPとする。
円周上に動点Qがあり、半直線POを始線とする動径PQの回転角を

θ

とする。
ただし、

θ

は

- \frac{π}{2}

＜

θ

＜

\frac{π}{2}

を満たす実数とする。
(1)直線PQを表す方程式は、

θ

=0 のとき

ソ

であり、

θ

≠0 のとき

タ

である。
(2)点Qを通る放物線

y

a x^{2}

b

をおく。点Qにおける放物線の接線は、点Qにおける円の接線と一致する。ただし、

a

b

は実数であり、

a

は

a

＞0 を満たす。
(i)

θ

≠0 のとき

a

と

b

を

θ

で表すと、

a

チ

b

ツ

である。
(ii)

θ

- \frac{π}{3}

のとき、直線PQと放物線で囲まれる部分の面積は

テ

である。

投稿日：2024.03.27

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(3)

△ A B C

において、3つの角の大きさをA,B,Cとし、
それぞれの対辺の長さをa,b,cとする。

5 a^{2} - 5 b^{2} + 6 b c - 5 c^{2} = 0

のとき、

\sin 2 A + \cos 2 A = \frac{ア}{イ}

である。

2022早稲田大学人間科学部過去問

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どっちがでかい？

単元： #数Ⅱ#式と証明#指数関数と対数関数#整式の除法・分数式・二項定理#指数関数#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

{1.11}^{111}

と

1111

どっちが大きい？？

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東工大　秀才栗崎 Mathematics Japanese university entrance exam

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\frac{x^{2} - 2 x + k^{2}}{x^{2} + 2 x + k^{2}} (k ≧ 0)

が1以外の整数値をとらないような定数

k

の範囲は？

出典：1992年東京工業大学　過去問

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福田の数学〜慶應義塾大学2021年理工学部第１問〜直線群と通過範囲

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

t

を実数とし、座標平面上の直線

l : (2 t^{2} - 4 t + 2) x

- (t^{2} + 2) y + 4 t + 2 = 0

を考える。

(1)直線

l

は

t

の値によらず、定点を通る。その定点の座標は

ア

である。

(2)直線

l

の傾きを

f (t)

とする。

f (t)

の値が最小となるのは

t = イ

のときであり、最大となるのは

t = ウ

のときである。また、

a

を実数とするとき、

t

に関する方程式

f (t) = a

がちょうど1個の
実数解をもつような

a

の値を全て求めると、

a = エ

である。

(3)

t

が実数全体を動くとき、直線

l

が通過する領域を

S

とする。また

k

を
実数とする。放物線

y = \frac{1}{2} (x - k)^{2} + \frac{1}{2} (k - 1)^{2}

が領域

S

と共有点
を持つような

k

の値の範囲は

オ ≦ k ≦ カ

である。

2021慶應義塾大学理工学部過去問

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信州大　三角関数・微分 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#微分法と積分法#三角関数とグラフ#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#信州大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

f (x) = 2 \cos \frac{x}{2} + 8 \cos \frac{x}{3}

のとりうる範囲は？

出典：2004年国立大学法人信州大学　過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜慶應義塾大学2024年薬学部第2問〜放物線と円が接する条件と面積

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