問題文全文(内容文)：
次のように定義される数列${a_n}$の一般項$a_n$を求めよ。
（1）
$a_1=1,$　　$a_{n+1}=a_n+3$

（2）
$a_1=2,$　　$a_{n+1}=3a_n$

（3）
$a_1=-1,$　　$a_{n+1}=a_n+6n-2$

（4）
$a_1=1,$　　$a_{n+1}=a_n+2^{n-1}$

問題文全文(内容文)：
整数$\ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots$を、さいころをくり返し投げることにより、以下のように
定めていく。まず$a_1=1$とする。そして、正の整数$n$に対し、$a_{n+1}$の値を、n回目に
出たさいころの目に応じて、次の規則で定める。
$(\ 規則\ )$　n回目に出た目が1,2,3,4なら$a_{n+1}=a_n、5,6$なら$a_{n+1}=-a_n$
例えば、さいころを3回投げ、その出た目が順に5,3,6であったとすると、
$a_1=1,a_2=-1,a_3=-1,a_4=1$となる。
$a_n=1$となる確率を$p_n$とする。ただし、$p_1=1$とし、さいころのどの目も、
出る確率は$\frac{1}{6}$であるとする。
(1)$p_2,p_3$を求めよ。
(2)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ。
(3)$p_n \leqq 0.5000005$を満たす最小の正の整数nを求めよ。
ただし、$0.47 \lt \log_{10}3 \lt 0.48$であることを用いてよい。

2022筑波大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
奇数の列を,下のように,1個,2個,4個,8個,･･･となるように群に分ける.

$ 1 | 3,5 | 7,9,11,13 | 15,17,･･･$

①第$n$群の奇数の和を求めよう.

②第8群の5番目の数を求めよう.

問題文全文(内容文)：
n自然数
$\sqrt{n}$に最も近い整数を$a_n$とする
(例)$a_3=2$,$a_{10}=3$
$\displaystyle\sum_{n=1}^{2023}\frac{1}{a_n}$を求めよ

問題文全文(内容文)：
${\large第3問}$
数列$\left\{a_n\right\}$は、初項$a_1$が$0$であり、$n=1,2,3,\cdots$のとき次の漸化式を
満たすものとする。
$a_{n+1}=$$\displaystyle \frac{n+3}{n+1}\{3a_n+3^{n+1}-$$(n+1)(n+2)\}$　$\cdots$①

(1)$a_2=\boxed{\ \ ア\ \ }$　である。

(2)$b_n=\displaystyle \frac{a_n}{3^n(n+1)(n+2)}$とおき、数列$\left\{b_n\right\}$の一般項を求めよう。
$\left\{b_n\right\}$の初項$b_1$は$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。①の両辺を$3^{n+1}(n+2)(n+3)$で
割ると
$b_{n+1}=b_n$$+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\left(n+\boxed{\ \ エ\ \ }\right)\left(n+\boxed{\ \ オ\ \ }\right)}$$-\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^{n+1}$

を得る。ただし、$\boxed{\ \ エ\ \ } \lt \boxed{\ \ オ\ \ }$とする。

したがって

$b_{n+1}-b_n=$$\left(\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{n+\boxed{\ \ エ\ \ }}-\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{n+\boxed{\ \ オ\ \ }}\right)$$-\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^{n+1}$
である。

$n$を2以上の自然数とするとき

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{k+\boxed{\ \ エ\ \ }}-\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{k+\boxed{\ \ オ\ \ }}\right)$$=\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ ク\ \ }}\left(\displaystyle \frac{n-\boxed{\ \ ケ\ \ }}{n+\boxed{\ \ コ\ \ }}\right)$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^{k+1}=$$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ サ\ \ }}{\boxed{\ \ シ\ \ }}-\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^n$

が成り立つことを利用すると

$b_n=\displaystyle \frac{n-\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }\left(n+\boxed{\ \ チ\ \ }\right)}$$+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^n$

が得られる。これは$n=1$のときも成り立つ。

(3)(2)により、$\left\{a_n\right\}$の一般項は
$a_n=\boxed{\ \ ツ\ \ }^{n-\boxed{テ}}\left(n^2-\boxed{\ \ ト\ \ }\right)+$$\displaystyle \frac{\left(n+\boxed{\ \ ナ\ \ }\right)\left(n+\boxed{\ \ ニ\ \ }\right)}{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$

で与えられる。ただし、$\boxed{\ \ ナ\ \ } \lt \boxed{\ \ ニ\ \ }$とする。
このことから、すべての自然数$n$について、
$a_n$は整数となることが分かる。

(4)$k$を自然数とする。$a_{3k},a_{3k+1},a_{3k+2}$で割った余りはそれぞれ
$\boxed{\ \ ネ\ \ },$　$\boxed{\ \ ノ\ \ },$　$\boxed{\ \ ハ\ \ }$である。また、$\left\{a_n\right\}$の初項から
第2020項までの和を$3$で割った余りは$\boxed{\ \ ヒ\ \ }$である。

2020センター試験過去問