問題文全文(内容文)：
四面体ABCDに対して,等式$\overrightarrow{ AP }+3\overrightarrow{ BP }+4\overrightarrow{ CP }+8\overrightarrow{ DP }=\overrightarrow{ 0 }$を満たす点Pはどのような位置にあるか｡

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$　(5)$t$を実数とする。座標空間において、3点O(0,0,0), A(1,0,2), B(2,-1,0)の定める平面OAB上に点C($t$+1,$t$,1-$t$)があるとき、$t$=$\boxed{\ \ オ\ \ }$である。

問題文全文(内容文)：
四面体 $\mathrm{ABCD}$ において、$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = 3,$ $|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$ $=|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$$= |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|$$=|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|=4,$$|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|=5$であるとき $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ $=\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエ}},$ $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$ $=\frac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}},$ $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}$$=\frac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}$
ここで、頂点 $\mathrm{D}$ から $\triangle \mathrm{ABC}$ に下した垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると、$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ を用いて
$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$ $=\frac{\fbox{スセ}}{\fbox{ソタ}} \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ $+ \frac{\fbox{チツ}}{\fbox{テト}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ とあらわすことができる。
垂線 $\mathrm{DH}$ の長さは $\frac{\fbox{ナニ}}{\fbox{ヌネ}}\sqrt{\fbox{ノハ}}$ であるから、四面体 $\mathrm{ABCD}$ の体積は $\frac{\fbox{ヒフ}}{\fbox{ヘホ}}\sqrt{\fbox{マミ}}$ である。

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{4}}$　$P(0,0,-1),\ Q(0,1,-2),\ R(1,0,-2)$を頂点とする三角形の面積は$\boxed{\ \ ヘ\ \ }$である。
aを実数とし、$\overrightarrow{ v }=(a,a,3)$とする。点P',Q',R'を
$\overrightarrow{ OP' }=\overrightarrow{ OP }+\overrightarrow{ v },\ \overrightarrow{ OQ' }=\overrightarrow{ OQ }+\overrightarrow{ v },\ \overrightarrow{ OR' }=$
$\overrightarrow{ OR }+\overrightarrow{ v }$
によって定め、さらに線分$PP',QQ',RR'$が$xy$平面と交わる点を$P'',Q'',R''$とする。
このとき、$P''$の座標は$\boxed{\ \ ホ\ \ }$、$Q''$の座標は$\boxed{\ \ マ\ \ }$、$R''$の座標は$\boxed{\ \ ミ\ \ }$である。
$\triangle P''Q''R''$が正三角形になるのは$a=\boxed{\ \ ム\ \ }$のときである。
3点$P'',Q'',R''$が同一直線上にあるのは$a=\boxed{\ \ メ\ \ }$のときである。$a \gt \boxed{\ \ メ\ \ }$のとき、
$\triangle P''Q''R''$の面積を$a$で表すと$\boxed{\ \ モ\ \ }$となる。

2021慶應義塾大学看護医療学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{4}}$ $xyz$空間において、点$P_1$(3,-1,1)を中心とした半径$\sqrt 5$の球面$S_1$と、点$P_2$(5,0,-1)を中心とし半径が$\sqrt 2$の球面$S_2$を考える。
(1)線分$P_1P_2$の長さを求めよ。
(2)$S_1$と$S_2$が交わりをもつことを示せ。この交わりは円となる。この円をCとし、その中心を$P_3$とする。Cの半径および中心$P_3$の座標を求めよ。
(3)(2)の円Cに対し、Cを含む平面をHとする。$xy$平面とHの両方に平行で、大きさが1のベクトルを全て求めよ。
(4)点Qが(2)の円C上を動くとき、Qと$xy$平面の距離dの最大値を求めよ。
また、dの最大値を与える点Qの座標を求めよ。