変な方程式 - 質問解決D.B.(データベース)

変な方程式

問題文全文(内容文):
$ \left(1+\dfrac{1}{x} \right)^{x+1}=\left(1+\dfrac{1}{11} \right)^{11}
これを解け.$
単元: #数Ⅱ#指数関数と対数関数#指数関数#数学(高校生)
指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
$ \left(1+\dfrac{1}{x} \right)^{x+1}=\left(1+\dfrac{1}{11} \right)^{11}
これを解け.$
投稿日:2022.10.10

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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} (1)次の連立不等式の表す領域の面積は\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ カ\ \ }}}{\boxed{\ \ キ\ \ }} である。\\
\left\{\begin{array}{1}
\displaystyle\log_4y+\log_{\frac{1}{4}}(x-2)+\log_4\frac{1}{8-x} \geqq -1\\
2^{y+x^2+11} \leqq 1024^{x-1}\\
\end{array}\right.
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} [2]二つの関数f(x)=\frac{2^x+2^{-x}}{2}, g(x)=\frac{2^x-2^{-x}}{2} について考える。\\
(1)f(0)=\boxed{\ \ セ\ \ }, g(0)=\boxed{\ \ ソ\ \ }\ である。また、f(x)は\\
相加平均と相乗平均の関係から、x=\boxed{\ \ タ\ \ }で最小値\boxed{\ \ チ\ \ }をとる。\\
g(x)=-2となるxの値は\log_2(\sqrt{\boxed{\ \ ツ\ \ }}-\boxed{\ \ テ\ \ })である。\\
\\
(2)次の①~④は、xにどのような値を代入しても常に成り立つ。\\
f(-x)=\boxed{\ \ ト\ \ } \ldots①  g(-x)=\boxed{\ \ ナ\ \ } \ldots②\\
\left\{f(-x)\right\}^2-\left\{g(-x)\right\}^2=\boxed{\ \ ニ\ \ } \ldots③  
g(2x)=\boxed{\ \ ヌ\ \ }\ f(x)g(x) \ldots④\\
\\
\boxed{\ \ ト\ \ }、\boxed{\ \ ナ\ \ }の解答群\\
⓪f(x)    ①-f(x)    ②g(x)    ③-g(x)
\\
\\
(3)花子:①~④は三角関数の性質に似ているね。\\
太郎:三角関数の加法定理に類似した式(\textrm{A})~(\textrm{D})を考えてみたけど、常に\\
成り立つ式はあるだろうか。\\
花子:成り立たない式を見つけるために、式(\textrm{A})~(\textrm{D})の\betaに\\
何か具体的な値を代入して調べてみたら?\\
\\
太郎さんが考えた式\\
f(\alpha-\beta)=f(\alpha)g(\beta)+g(\alpha)f(\beta) \ldots(\textrm{A}) 
f(\alpha+\beta)=f(\alpha)g(\beta)+g(\alpha)f(\beta) \ldots(\textrm{B})\\
f(\alpha-\beta)=f(\alpha)g(\beta)+g(\alpha)f(\beta) \ldots(\textrm{C}) 
f(\alpha+\beta)=f(\alpha)g(\beta)-g(\alpha)f(\beta) \ldots(\textrm{D})\\
\\
(1),(2)で示されたことのいくつかを利用すると、式(\textrm{A})~(\textrm{D})のうち、\\
\boxed{\ \ ネ\ \ }以外の3つは成り立たないことが分かる。\boxed{\ \ ネ\ \ }は左辺と右辺を\\
それぞれ計算することによって成り立つことが確かめられる。\\
\\
\boxed{\ \ ネ\ \ }の解答群\\
⓪(\textrm{A})   ①(\textrm{B})   ②(\textrm{C})   ③(\textrm{D})
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