問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 袋が2つ(袋1と袋2)および赤玉2個、白玉4個が用意されている。それぞれの袋に玉が3個ずつ入った状態として、次の3つがあり得る。
状態A：袋1に入っている赤玉が0個である状態
状態B：袋1に入っている赤玉が1個である状態
状態C：袋1に入っている赤玉が2個である状態
上記の各状態に対して、次の2段階からなる操作Tを考える。
操作T：袋1から玉を1個無作為に取り出し、それを袋2に入れる。次に、袋2から玉を1個無作為に取り出し、それを袋1に入れる。
(1)X,YをそれぞれA,B,Cのいずれかとする。状態Xに対し操作Tを1回施した結果、状態Yになる確率をP(X→Y)で表す。このとき、
P(A→A)=$\boxed{\ \ (あ)\ \ }$,　P(A→B)=$\boxed{\ \ (い)\ \ }$,　P(B→A)=$\boxed{\ \ (う)\ \ }$,
P(B→B)=$\boxed{\ \ (え)\ \ }$,　P(C→A)=$\boxed{\ \ (お)\ \ }$,　P(C→B)=$\boxed{\ \ (か)\ \ }$　である。
(2)以下、$n$を自然数とし、状態Bから始めて操作Tを繰り返し施す。操作Tを$n$回施し終えたとき、状態Aである確率を$a_n$、状態Bである確率を$b_n$、状態Cである確率を$c_n$とする。$n$≧2　とするとき、$a_n$,$b_n$,$c_n$と$a_{n-1}$,$b_{n-1}$,$c_{n-1}$の間には次の関係式が成り立つ。
$\left\{\begin{array}{1}
a_n=\boxed{\ \ (あ)\ \ }a_{n-1}+\boxed{\ \ (う)\ \ }b_{n-1}+\boxed{\ \ (お)\ \ }c_{n-1}\\
b_n=\boxed{\ \ (い)\ \ }a_{n-1}+\boxed{\ \ (え)\ \ }b_{n-1}+\boxed{\ \ (か)\ \ }c_{n-1}\\
\end{array}\right.$
したがって$b_n$と$b_{n-1}$の間には次の関係式が成り立つことが分かる。
$b_n$=$\boxed{\ \ (き)\ \ }b_{n-1}$+$\boxed{\ \ (く)\ \ }$
これより、$n$≧1　に対して$b_n$を$n$の式で表すと
$b_n$=$\boxed{\ \ (け)\ \ }$+$\boxed{\ \ (こ)\ \ }(\boxed{\ \ (さ)\ \ })^n$
となる。さらに$d_n$=$\displaystyle\frac{a_n}{(\boxed{\ \ (あ)\ \ })^n}$とおくとき、$d_n$を$n$の式で表すと
$d_n$=$\boxed{\ \ (し)\ \ }\left\{(\boxed{\ \ (す)\ \ })^n-(\boxed{\ \ (せ)\ \ })^n\right\}$
となる。

問題文全文(内容文)：
$点(0,1)を通り曲線$y=x^3-ax^2$に接する直線がちょうど2本存在するとき,実数$a$の値と2本の接線の方程式を求めよ。

大阪大過去問

問題文全文(内容文)：
$m,n$正の整数
$100m^2-49n^2=20!$を満たす$(m,n)$の組は何組？

問題文全文(内容文)：
$x \gt 1$とする。
$\displaystyle \int_{1}^{x} (x-t)f(t)dt=x^4-2x^2+1$を満たす整式$f(t)$を定めよ。

出典：1965年京都大学

問題文全文(内容文)：
曲線$C:y=f(x)　(0 \leqq x \lt 1)$が次の条件を満たすとする。
・$f(0)=0$
・$0 \lt x \lt 1$のとき$f'(x) \gt 0$
・$0 \lt a \lt 1$を満たすすべての実数aについて、曲線C上の点$(a, f(a))$
における接線と直線$x=1$との交点をQとするとき、$PQ=1$
この時以下の問いに答えよ。
(1)$f'(x)$を求めよ。
(2)$\int_0^{\frac{1}{2}}(1-x)f'(x)dx$の値を求めよ。
(3)曲線Cとx軸、直線$x=1$、直線$y=f(\frac{1}{2})$で囲まれた部分の面積を求めよ。

2022東京医科歯科大学理系過去問