大学入試問題#595「山口大学に初挑戦！」山口大学(2014) #数列

大学入試問題#595「山口大学に初挑戦！」　山口大学(2014)　#数列

問題文全文(内容文)：

a_{n} = \tan \frac{π}{2^{n + 1}}

のとき

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

を求めよ

出典：2014年山口大学　入試問題

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問題文全文(内容文)：

a_{n} = \tan \frac{π}{2^{n + 1}}

のとき

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

を求めよ

出典：2014年山口大学　入試問題

投稿日：2023.07.23

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問題文全文(内容文)：

1 ～ 3 n

の整数を

A, B, C

3つの組に分ける。

A

の合計が３の倍数になる確率

P_{n}

を求めよ。
※数字が１つも入らない組があってもよい

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問題文全文(内容文)：

5

A, B, Cの3人が、A, B, C, A, B, C, A, ... という順番にさいころを投げ、最初に1を出した人を勝ちとする。だれかが1を出すか、全員が

n

回ずつ投げたら、ゲームを終了する。A, B, Cが勝つ確率

P_{A}

P_{B}

P_{C}

をそれぞれ求めよ。

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問題文全文(内容文)：
2023年　山梨大学　過去問

a_{1} = 6

a_{n + 1} = \frac{n + 3}{n + 1} a_{n} + 1

b_{n} = \frac{a_{n}}{(n + 1) (n + 2)}

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問題文全文(内容文)：
数列

{a_{n}}

に対して

\sum_{k = 1}^{n} a_{k} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

とし、さらに

S_{0} = 0

と定める。

{a_{n}}

は

S_{n} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} (n + 3) a_{n + 1}

(n=0,1,2,・・・)を満たすとする。
(1)

a_{1} = \frac{ア}{イ}

である。また、

n ≧ 1

に対して

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

であるから、関係式

(n + ウ) a_{n + 1} = (n + エ) a_{n} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

・・・(*)が得られる。数列

{b_{n}}

を

b_{n} = n (n + 1) (n + 2) a_{n} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

で定めると、

b_{1} = オ

であり、

n ≧ 1

に対して

b_{n + 1} = カ b_{n}

が成り立つ。ゆえに

a_{n} = \frac{キ}{n (n + 1) (n + 2)}

が得られる。
次に、数列

{T_{n}} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{(k + 3) (k + 4)} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

で定める。
(2)(*)より導かれる関係式

\frac{a_{k}}{k + 3} - \frac{a_{k + 1}}{k + 4} = \frac{ク a_{k}}{(k + 3) (k + 4)} (k = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

を用いると

T_{n} = A - \frac{ケ}{コ (n + p) (n + q) (n + r) (n + s)} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

が得られる。ただしここに

A = サ シ ス

であり、

p < q < r < s

として

p = セ, q = ソ, r = タ, s = チ

である。
(3)不等式

| T_{n} - A | < \frac{1}{10000 (n + 1) (n + 2)}

を満たす最小の自然数

n は n = ツテ

である。

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2024 !の末尾に並ぶ 0 の個数を求めよ。

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