【数学】東大理科2022大問6ガチ解説!考え方から正解まで、思考プロセスをお見せします! - 質問解決D.B.(データベース)

【数学】東大理科2022大問6ガチ解説!考え方から正解まで、思考プロセスをお見せします!

問題文全文(内容文):
東大理系数学2022大問6
Oを原点とする座標平面上で考える。0以上の整数kに対して、vec(v_k)を
vec(v_k)=(cos(2kπ/3),sin(2kπ/3))
と定める。投げたとき表と裏がどちらも1/2の確率で出るコインをN回投げて座標平面上に点X_0,X_1,X_2,…,X_Nを以下の規則(i)(ii)に従って定める。
(i)X_0はOにある。
(ii)nを1以上N以下の整数とする。X_(n_1)が定まったとし、X_nを次のように定める。
・n回目のコイン投げで表が出た場合、
vec(OX_n)=vec(OX_(n-1))+vec(v_k)
によりX_nを定める。ただし、kは1回目からn回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。
・n回目のコイン投げで裏が出た場合、X_nをX_(n-1)と定める。
(1)N=8とする。X_8がOにある確率を求めよ。
(2)N=200とする。X_(200)がOにあり、かつ、合計200回のコイン投げで表がちょうどr回出る確率をp_rとおく。ただし0≦r≦200とする。p_rを求めよ。またp_rが最大となるrの値を求めよ。
チャプター:

00:00 kの条件の中で、表と裏を読み間違えた場合の問題
00:47 (1)解説
06:10 (2)解説

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指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
東大理系数学2022大問6
Oを原点とする座標平面上で考える。0以上の整数kに対して、vec(v_k)を
vec(v_k)=(cos(2kπ/3),sin(2kπ/3))
と定める。投げたとき表と裏がどちらも1/2の確率で出るコインをN回投げて座標平面上に点X_0,X_1,X_2,…,X_Nを以下の規則(i)(ii)に従って定める。
(i)X_0はOにある。
(ii)nを1以上N以下の整数とする。X_(n_1)が定まったとし、X_nを次のように定める。
・n回目のコイン投げで表が出た場合、
vec(OX_n)=vec(OX_(n-1))+vec(v_k)
によりX_nを定める。ただし、kは1回目からn回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。
・n回目のコイン投げで裏が出た場合、X_nをX_(n-1)と定める。
(1)N=8とする。X_8がOにある確率を求めよ。
(2)N=200とする。X_(200)がOにあり、かつ、合計200回のコイン投げで表がちょうどr回出る確率をp_rとおく。ただし0≦r≦200とする。p_rを求めよ。またp_rが最大となるrの値を求めよ。
投稿日:2022.12.24

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東京大学 2021年理科・文科第4問(4)
以下の問いに答えよ。
(1)正の奇数K,Lと正の整数A,BがKA=LBを満たしているとする。Kを4で割った余りがLを4で割った余りと等しいならば、Aを4で割った余りはBを4で割った余りと等しいことを示せ。
(2)正の整数a,bがa>bを満たしているとする。このとき、A=(4a+1)C(4b+1),B=aCbに対してKA=LBとなるような正の奇数K,Lが存在することを示せ。
(3)a,bは(2)の通りとし、さらにa-bが2で割り切れるとする。(4a+1)C(4b+1)wp4で割った余りはaCbを4で割った余りと等しいことを示せ。
(4)2021C37を4で割った余りを求めよ。
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問題文全文(内容文):
東大文科2021大問1
aを正の実数とする。座標平面上の曲線Cをy=ax³-2xで定める。原点を中心とする半径1の円とCの共有点の個数が6個であるようなaの範囲を求めよ。
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