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数学$\textrm{III}$　グラフを描こう(11)

$y=\frac{x^3}{x^2-1}$　のグラフを描け。ただし、凹凸、漸近線も調べよ。

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関数f(x)は実数全体で定義されており、$x\leqq 2$において
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}x\leqq f(x)\leqq 2-x$
を満たしているものとする。数列{$a_{ n }$}は漸化式
$a_{ n+1 }=a_{ n }+f(a_{ n })$
を満たしているものとする。
(i)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、すべての自然数nに対して、$a_{ 1 } \leqq a_{ n }\leqq2$となる事を証明しなさい。
(ii)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、$a_{ 1 }$の値によらず$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = 2$となる事を証明しなさい。

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対数関数の微分の導出について解説します。

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$\Large\boxed{5}$ $a_n$=$\displaystyle\frac{1}{n!}\int_1^e(\log x)^ndx$　($n$=1,2,3,...)とおく。
(1)$a_1$を求めよ。
(2)不等式0≦$a_n$≦$\frac{e-1}{n!}$　が成り立つことを示せ。
(3)$n$≧2のとき、$a_n$=$\displaystyle\frac{e}{n!}$-$a_{n-1}$　であることを示せ。
(4)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=2}^n\frac{(-1)^k}{k!}$　を求めよ。

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浜松医科大学過去問題
(1)4個のサイコロを投げて1,1,2,2のように同じ目がちょうど2個ずつでる確率
(2)n=4,5,6・・・としてn個のサイコロを投げて、少なくとも(n-2)個のサイコロに同じ目がそろって出る確率$P_n$
　また$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{P_n+1}{P_n}$