問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}5\mathrm{問}$
1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さをaとする。
(1)1辺の長さが1の正五角形$O{A}_1{B}_1{C}_1{A}_2$を考える。

$\mathrm{\angle }{A}_1{C}_1{B}_1=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}°$、$\mathrm{\angle }{C}_1{A}_1{A}_2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}°$となることから、$\overrightarrow{A_1{A}_2}$と
$\overrightarrow{B_1{C}_1}$は平行である。ゆえに
$\overrightarrow{A_1{A}_2}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\overrightarrow{B_1{C}_1}$
であるから
$\overrightarrow{B_1{C}_1}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}\overrightarrow{A_1{A}_2}}$$={\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}(\overrightarrow{O{A}_2}-\overrightarrow{O{A}_1})}$
また、$\overrightarrow{O{A}_1}$と$\overrightarrow{A_2{B}_1}$は平行で、さらに、$\overrightarrow{O{A}_2}$と$\overrightarrow{A_1{C}_1}$も平行であることから
$\overrightarrow{B_1{C}_1}=\overrightarrow{B_1{A}_2}+\overrightarrow{A_{2}O}+\overrightarrow{O{A}_1}+$$\overrightarrow{A_1{C}_1}$$=-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\overrightarrow{O{A}_1}-\overrightarrow{O{A}_2}$$+\overrightarrow{O{A}_1}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\overrightarrow{O{A}_2}$$=(\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}-\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}})$$(\overrightarrow{O{A}_2}-\overrightarrow{O{A}_1})$
となる。したがって
${\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}-\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}$
が成り立つ。$a>0$に注意してこれを解くと、$a={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$を得る。


(2)下の図(※動画参照)のような、1辺の長さが1の正十二面体を考える。正十二面体とは、
どの面もすべて合同な正五角形であり、どの頂点にも三つの面が集まっている
へこみのない多面体のことである。

面$O{A}_1{B}_1{C}_1{A}_2$に着目する。$\overrightarrow{O{A}_1}$と$\overrightarrow{A_2{B}_1}$が平行であることから
$\overrightarrow{O{B}_1}=\overrightarrow{O{A}_2}+\overrightarrow{A_2{B}_1}$$=\overrightarrow{O{A}_2}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\overrightarrow{O{A}_1}$
である。また
$|\overrightarrow{O{A}_2}-\overrightarrow{O{A}_1}{|}^2=|\overrightarrow{A_1{A}_2}{|}^2$$={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}+\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$
に注意すると
$\overrightarrow{O{A}_1}\mathrm{・}\overrightarrow{O{A}_2}={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}-\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}$
を得る。

次に、面OA_2B_2C_2A_2に着目すると
$\overrightarrow{O{B}_2}=\overrightarrow{O{A}_3}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\overrightarrow{O{A}_2}$
である。さらに
$\overrightarrow{O{A}_2}\mathrm{・}\overrightarrow{O{A}_3}=\overrightarrow{O{A}_3}\mathrm{・}\overrightarrow{O{A}_1}$$=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}-\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}$
が成り立つことがわかる。ゆえに
$\overrightarrow{O{A}_1}\mathrm{・}\overrightarrow{O{B}_2}=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}},$$\overrightarrow{O{B}_1}\mathrm{・}\overrightarrow{O{B}_2}=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$
である。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}, \boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$0$
①$1$
②$-1$
③${\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$
④${\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$
⑤${\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$
⑥${\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{2}}$
⑦$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$
⑧${\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{4}}$
⑨${\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{4}}$


最後に、面$A_2{C}_{1}DE{B}_2$に着目する。
$\overrightarrow{B_{2}D}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\overrightarrow{A_2{C}_1}=\overrightarrow{O{B}_1}$
であることに注意すると、4点$O,B_1,D,B_2$は同一平面上にあり、四角形
$O{B}_{1}D{B}_2\mathrm{は}\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}$ことがわかる。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}$の解答群
⓪正方形である
①正方形ではないが、長方形である
②正方形ではないが、ひし形である
③長方形でもひし形でもないが、平行四辺形である
④平行四辺形ではないが、台形である
⑤台形でない

(ただし、少なくとも1組の対辺が平行な四角形を台形という)

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
点Oを中心とし、半径1の円に内接する$\mathrm{△}ABC$が
$\overrightarrow{OA}+\sqrt{3}\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$　を満たしている。
(1)内積$\overrightarrow{OA}\mathrm{・}\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OA}\mathrm{・}\overrightarrow{OC}$を求めよ。
(2)$\mathrm{△}ABC$　の面積を求めよ。
(3)辺$BC$の長さ、および頂点Aから
辺$BC$に引いた垂線の長さを求めよ。

問題文全文(内容文)：
tは実数とする。
aベクトル=(2,1), bベクトル=(3,4)に対して
$|a+tb|$は$t=\square$のとき最小値$\square$を取る

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 3}}$
点Oを原点とする座標平面上の点$P,Q,R$を、ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,1),\overrightarrow{b}=(1,2)$を用い、
位置ベクトル$\overrightarrow{OP}=f(t)\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OQ}=f(t+2)\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OR}=g(t)\overrightarrow{b}$で定める。
ここで、$f(t),g(t)$は、実数tを用いて、
$f(t)=9t^2+1, g(t)=\frac{1}{8}(t^2-6t+9)$で表される。
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とする。ただし、$0\leqq \theta \leqq \pi$とする。このとき、
$\sin \theta =\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}$である。

(2)$t=-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$のとき、点Pと点Qが一致する。それ以外のとき、点P,Q,Rは
異なる3点となり、$t=\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$のときその3点が一直線上に並ぶ。

(3)$-\frac{4}{3}\leqq t\leqq 4$の範囲において、上記(2)以外のとき、$\mathrm{△}PQR$の面積は
$t=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}$で最大値$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}\mathrm{ク}}}$をとる。

2021慶應義塾大学商学部過去問

問題文全文(内容文)：
【数B】30分でベクトルを総まとめ動画です
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$\overrightarrow{a}=(1,-2)$とのなす角が${45}^{\circ }$で、大きさが$\sqrt{10}$のベクトルを求めよ。