福田の数学〜早稲田大学2021年理工学部第１問〜２直線のなす角の最小

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問題文全文(内容文)：

1

x y

平面上の曲線

y = x^{3}

を

C

とする。

C

上の2点

A (- 1, - 1), B (1, 1)

をとる。
さらに、

C

上で原点

O

と

B

の間に動点

P (t, t^{3}) (0 < t < 1)

をとる。このとき、
以下の問いに答えよ。
(1)直線

A P

と

x

軸のなす角を

α

とし、直線

P B

と

x

軸のなす角を

β

とするとき、

\tan α, \tan β

を

t

を用いて表せ。ただし、

0 < α < \frac{π}{2}, 0 < β < \frac{π}{2}

とする。

(2)

\tan ∠ A P B

を

t

を用いて表せ。

(3)

∠ A P B

を最小にする

t

の値を求めよ。

2021早稲田大学理工学部過去問

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#加法定理とその応用#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

x y

平面上の曲線

y = x^{3}

を

C

とする。

C

上の2点

A (- 1, - 1), B (1, 1)

をとる。
さらに、

C

上で原点

O

と

B

の間に動点

P (t, t^{3}) (0 < t < 1)

をとる。このとき、
以下の問いに答えよ。
(1)直線

A P

と

x

軸のなす角を

α

とし、直線

P B

と

x

軸のなす角を

β

とするとき、

\tan α, \tan β

を

t

を用いて表せ。ただし、

0 < α < \frac{π}{2}, 0 < β < \frac{π}{2}

とする。

(2)

\tan ∠ A P B

を

t

を用いて表せ。

(3)

∠ A P B

を最小にする

t

の値を求めよ。

2021早稲田大学理工学部過去問

投稿日：2021.05.24

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

a > 0, b < 0

とする。放物線C:

y = \frac{3}{2} x^{2}

上の点A(a,

\frac{3}{2} a^{2}

)と点B(b,

\frac{3}{2} b^{2}

)について、点Aと点Bにおける放物線の接線をそれぞれlとmで表し、その好転をPとする。
(1)lとmが直交するとき、交点Pのy座標は

- \frac{ア}{イ}

である。
(2)a=2で、

∠ A P B = \frac{π}{4}

とする。このとき、bの値は

- \frac{ウ}{エオ}

である。
(3)b=-aで、

∠ A P B = \frac{π}{3}

とする。この時、aの値は

\frac{\sqrt{カ}}{キ}

である。また、PAを半径、

∠ A P B

を中心角として扇形PABが定まる。この扇形は放物線Cによって２つの図形に分割され、大きい図形の面積と小さい図形の面積の差は

\frac{ク}{ケ} π - \frac{コ \sqrt{サ}}{シ}

である。

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問題文全文(内容文)：

0 ≦ x < 2 π

のとき、次の方程式を書こう。

①

2 \cos 2 x + 1 = 4 \sin x

②

\sin 2 x = \cos x

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問題文全文(内容文)：

\sin A + \sin B =

①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

\cos A + \cos B =

②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

\sin A - \sin B =

③＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

\cos A - \cos B =

④＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

◎次の値を求めよう。

⑤

\sin 105 ° + \sin 15 °

⑥

\cos 75 ° - \sin 15 °

⑦

\cos 75 ° + \cos 15 °

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問題文全文(内容文)：

α, β

が

α > 0 °, β > 0 °, α + β < 180 °

かつ

s i n^{2} α + s i n^{2} β = s i n^{2} (α + β)

を満たすとき、

s i n α + s i n β

の取りうる範囲を求めよ。

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問題文全文(内容文)：

\frac{π}{2} < θ < π

で

\sin θ = \frac{1}{3}

のとき

\cos \frac{θ}{2}

は？

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