問題文全文(内容文)：
数学$\text{III}$　グラフを描こう(8)

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x=t^3-3t^2\\ y=t^2-2t\end{array}\end{array}$
のグラフを描け。
ただし凹凸は調べなくてよい。

問題文全文(内容文)：
2直線
$r(\sqrt{3}\cos \theta +\sin \theta )=4$
$r(\sqrt{3}\cos \theta -\sin \theta )=2$
の交点の極座標を求めよ。またこの2直線のなす鋭角も求めよ。
（出典　数研出版サクシード数学Ⅲ）

問題文全文(内容文)：
xy平面上の曲線Cを、媒介変数tを用いて次のように定める。
$x=5\cos t+\cos 5t, y=5\sin t-\sin 5t (-\pi \leqq t<\pi )$
以下の問いに答えよ。
(1)区間$0<t<\frac{\pi }{6}$において、$\frac{dx}{dt}<0, \frac{dy}{dx}<0$であることを示せ。
(2)曲線Cの$0\leqq t\leqq \frac{\pi }{6}$の部分、x軸、直線$y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$で囲まれた
図形の面積を求めよ。
(3)曲線Cはx軸に関して対称であることを示せ。また、C上の点を
原点を中心として反時計回りに$\frac{\pi }{3}$だけ回転させた点はC上
にあることを示せ。
(4)曲線Cの概形を図示せよ。

2022九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
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問題文全文(内容文)：
(1)座標平面上の点P(x,y)を、点T(s,t)を中心として半時計周りに角$\alpha$だけ
回転させるときに、点Pが点P'(x',y')に移るとする。x'とy'を$x,y,s,t,\alpha$
の式で表すと$x^{\prime }=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}, y^{\prime }=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$となる。
(2)aを正の実数とする。原点O(0,0)とする半径aの円Cに、半径$\frac{a}{2}$で原点O
を通る円Kを点A(a,0)において内接させる。この円Kを円Cに沿って
滑らないように転がす。ただし、KとCの接点がC上を半時計回りに動くようにする。
そして、接点の座標がはじめて$(a\cos \beta ,a\sin \beta )(0\leqq \beta \leqq 2\pi )$となるようにする。
円Kに対するこの操作は次の2段階の操作を続けて行うことと同等である。
$(\text{i})$点B$(\frac{a}{2},0)$を中心として、円Kを$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$に角$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$だけ回転させる。
$(\text{ii})$原点Oを中心として、円Kを$\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$に角$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$だけ回転させる。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$の選択肢
時計回り,反時計回り,$\beta ,2\beta ,\frac{1}{2}\beta$

(3)円Kが点Aにおいて円Cに内接しているとき、Kの内部に固定された点Q(b,0)
(ただし、$0<b<a$)をとる。円Kを、Cとの接点がC上を一周するまで(2)に述べた
やり方でCに沿って転がすとき、点Qが動いてできる曲線を$S_1$とする。$S_1$上の
点の座標を(x,y)として、$S_1$の方程式をx,yを用いて書くと$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$となる。

(4)円Kが点Aにおいて円Cに内接しているとき、円Cに固定された点R(0,a)をとる。
今度は円Kを固定して、円Cの方をKに接した状態で滑らないようにKに沿って転がす。
2つの円の接点が円Kを$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}$回転したとき、点Rははじめてもとの位置
(0,a)に戻る。Rが描く曲線を$S_2$とする。原点Oを極とし、x軸の正の部分を
始線とする極座標#$(r,\theta )$による$S_2$の極方程式は$r=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}$である。
ただし$r,\theta$はそれぞれ$S_2$上の点の原点からの距離、および偏角である。

2022慶應義塾大学医学部過去問