問題文全文(内容文)：
問題1
右図の直方体$ABCD-EFGH$は,$AD=AE=1,AB=\sqrt3$である.
この直方体において,次の内積を求めよう.

①$\overrightarrow{AD}･\overrightarrow{AE}$

②$\overrightarrow{AB}･\overrightarrow{AC}$

③$\overrightarrow{DH}･\overrightarrow{CF}$

④$\overrightarrow{AD}･\overrightarrow{GE}$

⑤$\overrightarrow{a}=(1,2,1),\overrightarrow{b}=(-2,2,4)$について,
その内積となす角$\theta$を求めよう.

図は動画内参照

問題文全文(内容文)：
3 空間内に平行四辺形 $\text{ABCD}$ を底面とする四角錐 $\text{O}-\text{ABCD}$ があり，平行四辺形 $\text{ABCD}$ は $\text{AC} = \sqrt{61}, \text{BD} = \sqrt{21}$ を満たしている。また，線分 $\text{AC}$ と線分 $\text{BD}$ の交点を $\text{H}$ とすると，直線 $\text{OH}$ は平面 $\text{ABC}$ に垂直で
$\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}} = -\frac{1}{2}, \quad \overrightarrow{\text{OB}} \cdot \overrightarrow{\text{OD}} = \frac{19}{2}, \quad \overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} = \frac{25}{2}$
が成り立っている。このとき
$\text{OA} = \sqrt{\text{[アイ]}}, \quad \text{OB} = \text{[ウ]} \sqrt{\text{[エ]}}, \quad \overrightarrow{\text{OB}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}} = \text{[オカ]}$
である。
(1) $\text{AB} = \text{[キ]}, \quad \text{BC} = \text{[ク]}$ である。
また，平行四辺形 $\text{ABCD}$ の面積を $S$ とすると，$S = \text{[ケコ]} \sqrt{\text{[サ]}}$ である。
(2) 線分 $\text{OA}$ の中点を $\text{P}$，線分 $\text{OB}$ を $3 : 1$ に内分する点を $\text{Q}$，線分 $\text{OD}$ を $1 : 3$ に内分する点を $\text{R}$ とし，平面 $\text{PQR}$ と直線 $\text{OC}$ の交点を $\text{T}$ とする。$\overrightarrow{\text{OT}}$ を $\overrightarrow{\text{OC}}$ を用いて表すと $\overrightarrow{\text{OT}} = \frac{\text{[シ]}}{\text{[スセ]}} \overrightarrow{\text{OC}}$ である。線分 $\text{PT}$ と線分 $\text{QR}$ の交点を $\text{U}$ とするとき，$\overrightarrow{\text{OU}}$ を $\overrightarrow{\text{OA}}, \overrightarrow{\text{OC}}$ を用いて表すと
$\overrightarrow{\text{OU}} = \frac{\text{[ソ]}}{\text{[タチ]}} (\overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OC}})$
である。
また，$\overrightarrow{\text{UO}} \cdot \overrightarrow{\text{UD}} = w_1, \quad \overrightarrow{\text{OH}} \cdot \overrightarrow{\text{OA}} = w_2$ とするとき
$\frac{w_1}{w_2} = \frac{\text{[ツテト]}}{\text{[ナニ]}}$
である。

問題文全文(内容文)：
３点A(0,1,1),B(6,-1,-1),C(-3,-1,1)を通る平面の方程式を求めよ。

問題文全文(内容文)：
平面の方程式について解説します。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{3}$

座標空間内に

$3$点$A(-1,1,6),B(0,3,6),C(1,1,5)$をとる。

このとき、$\vert \overrightarrow{AB} \vert =\boxed{ス},\overrightarrow{AB}･\overrightarrow{AC}=\boxed{セ}$であり、

$\angle BAC$の大きさを$\theta$とすると、

$\sin\theta=\boxed{ソ}$である。

ただし、$0\lt \theta \lt \pi$とする。

また、三角形$ABC$の面積は$\boxed{タ}$である。

さらに、

$3$点$A,B,C$の定める平面$ABC$に原点$O$から

垂線$OH$を下ろすと、点$H$の座標は$\boxed{チ}$であり、

四面体$OABC$の体積は$\boxed{ツ}$である。

$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題