問題文全文(内容文)：
これを解け.
${\displaystyle \frac{e}{\sqrt{e}}}\mathrm{・}{\displaystyle \frac{\sqrt[3]{e}}{\sqrt[4]{e}}}\mathrm{・}{\displaystyle \frac{\sqrt[5]{e}}{\sqrt[6]{e}}}･･････=?$

問題文全文(内容文)：
定積分について述べた次の文章を読んで、後の問いに答えよ。
区間$a\leqq x\leqq b$で連続な関数f(x)に対して$F^{\prime }(x)=f(x)$となる$F(x)$を1つ選び、
$f(x)$のaからbまでの定積分を
${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) \dots \mathrm{①}$
で定義する。定積分の値はF(x)の選び方によらずに定まる。
定積分は次の性質(A),(B),(C)をもつ。
(A)${\int }_a^b\{kf(x)+lg(x)\}dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx+l{\int }_a^{b}g(x)dx$
(B)$a\leqq c\leqq b$のとき、${\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx$
(C)区間$a\leqq x\leqq b$において$g(x)\geqq h(x)$ならば、${\int }_a^{b}g(x)dx\geqq {\int }_a^{b}h(x)dx$
ただし、$f(x),g(x),h(x)$は区間$a\leqq x\leqq b$で連続な関数、$k,l$は定数である。
以下、$f(x)$を区間$0\leqq x\leqq 1$で連続な増加関数とし、
nを自然数とする。定積分の性質$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$を用い、定数関数に対する定積分の計算を行うと、
$\frac{1}{n}f(\frac{i-1}{n})\leqq {\int }_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx\leqq \frac{1}{n}f(\frac{i}{n}) (i=1,2,\dots ,n) \dots \mathrm{②}$
が成り立つことがわかる。$S_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(\frac{i-1}{n})$とおくと、
不等式②と定積分の性質$\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$より次の不等式が成り立つ。
$0\leqq {\int }_0^{1}f(x)dx-S_n\leqq \frac{f(1)-f(0)}{n} \dots \mathrm{③}$
よって、はさみうちの原理より$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n={\int }_0^{1}f(x)dx$が成り立つ。

(1)関数F(x),G(x)が微分可能であるとき、${\{F(x)+G(x)\}}^{\prime }=F^{\prime }(x)+G^{\prime }(x)$が
成り立つことを、導関数の定義に従って示せ。
また、この等式と定積分の定義①を用いて、性質(A)で$k=l=1$とした場合の等式
${\int }_a^b\{f(x)+g(x)\}dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$　を示せ。
(2)定積分の定義①と平均値の定理を用いて、次を示せ。
$a<b$のとき、区間$a\leqq x\leqq b$において$g(x)>0$ならば、${\int }_a^{b}g(x)dx>0$
(3)(A),(B),(C)のうち、空欄$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$に入る記号として最もふさわしいものを
1つ選び答えよ。また、文章中の下線部の内容を詳しく説明することで、
不等式②を示せ。
(4)(A),(B),(C)のうち、空欄$\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$に入る記号として最もふさわしいものを
1つ選び答えよ。また、不等式③を示せ。

2022九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
(1)$x^2+y^2\geqq 6(x-y-3)$
(2)$a^2-ab+b^2\geqq a+b-1$
(3)$x^2+xy+y^2+3z(x+y+z)\geqq 0$
(4)${\displaystyle \frac{(a^2+b^2+c^2)}{3}\geqq {\displaystyle \frac{(a+b+c{)}^2}{3}}}$

問題文全文(内容文)：
2023慶応義塾大学過去問題
$P(x)={\displaystyle \sum _{n=1}^{20}n{x}^n=20x^{20}+19x^{19}+}$
$\cdots +2x^2+x$
を①$x-1$,②$x^2-1$で割った余り

おまけ
$x^3-1$で割った余り

問題文全文(内容文)：
前段の不等式をいかに利用するか？
$a^2+b^2+c^2\geqq ab+bc+ca$
$a^4+b^4+c^4\geqq abc(a+b+c)$
を証明せよ！