恒等式・等式・不等式の証明
恒等式・等式・不等式の証明
福田のおもしろ数学054〜不等式の再利用のコツ〜2つの不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
前段の不等式をいかに利用するか？
$a^2+b^2+c^2 \geqq ab+bc+ca$
$a^4+b^4+c^4 \geqq abc(a+b+c)$
を証明せよ！
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前段の不等式をいかに利用するか？
$a^2+b^2+c^2 \geqq ab+bc+ca$
$a^4+b^4+c^4 \geqq abc(a+b+c)$
を証明せよ！
福田のおもしろ数学037〜相加相乗平均の罠〜2変数関数の最小値
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x>1,y>1$のとき
$x+y+\frac{2}{x+y}+\frac{1}{2xy}$
の最小値を求めよ
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$x>1,y>1$のとき
$x+y+\frac{2}{x+y}+\frac{1}{2xy}$
の最小値を求めよ
どっちがでかい
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
どっちがでかい？
$1.11^{111}\ vs\ 1111$
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どっちがでかい？
$1.11^{111}\ vs\ 1111$
【数Ⅱ】式と証明：等式の証明：展開するだけの証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の等式を証明せよ。(a-b)³+3ab(a-b)=a³-b³
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次の等式を証明せよ。(a-b)³+3ab(a-b)=a³-b³
【数Ⅱ】式と証明：恒等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の等式がxについての恒等式になるように，定数a，bの値を定めよ。
$\displaystyle \frac{4x+7}{(x-2)(2x+1)}=\displaystyle \frac{a}{x-2}+\displaystyle \frac{b}{2x+1}$
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次の等式がxについての恒等式になるように，定数a，bの値を定めよ。
$\displaystyle \frac{4x+7}{(x-2)(2x+1)}=\displaystyle \frac{a}{x-2}+\displaystyle \frac{b}{2x+1}$
【高校数学】不等式の証明～どこよりも丁寧に～ 1-11【数学Ⅱ】
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
(1) x > 1,y > 1のとき次の不等式が成り立つことを証明せよ
xy + 1 > x + y
(2) 不等式 a²- ab + b² ≧0を証明せよ
また、等号が成り立つのはどのようなときか。
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(1) x > 1,y > 1のとき次の不等式が成り立つことを証明せよ
xy + 1 > x + y
(2) 不等式 a²- ab + b² ≧0を証明せよ
また、等号が成り立つのはどのようなときか。
式の証明 山梨大
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#学校別大学入試過去問解説(数学)#山梨大学#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2019年 山梨大学 過去問
$\frac{a^3+a}{a+1}=\frac{b^3+b}{b+1}=\frac{c^3+c}{c+1}$
$a \neq b$、$b \neq c、c \neq a$のとき
a+b+c=0であることを証明せよ。
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2019年 山梨大学 過去問
$\frac{a^3+a}{a+1}=\frac{b^3+b}{b+1}=\frac{c^3+c}{c+1}$
$a \neq b$、$b \neq c、c \neq a$のとき
a+b+c=0であることを証明せよ。
早稲田の恒等式！この形は〇〇したくなりますよね【早稲田大学】【数学 入試問題】
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#微分法と積分法#恒等式・等式・不等式の証明#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
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気持ちいい別解あり！これ解ける？【京都大学】【数学 入試問題】
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
$a,b,c$を正の数とするとき、不等式
$2\left( -\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\right)≦3\left(\frac{a+b+c}{2}-\sqrt[3]{abc}\right)$
を証明せよ。
また、等号が成立するのはどんな場合か。
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$a,b,c$を正の数とするとき、不等式
$2\left( -\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\right)≦3\left(\frac{a+b+c}{2}-\sqrt[3]{abc}\right)$
を証明せよ。
また、等号が成立するのはどんな場合か。
【数Ⅱ】式と証明：（茶番）突然問題を出されたから解いてみた
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#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
点$（x,y）$が$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{5}=$1 $x>0$、$y>0$ を満たしながら動くとき、
$\log_{2}x + \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{y} $の最大値を求めよ。
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点$（x,y）$が$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{5}=$1 $x>0$、$y>0$ を満たしながら動くとき、
$\log_{2}x + \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{y} $の最大値を求めよ。
北大の良問！解けますか？【数学 入試問題】【北海道大学】
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
$k$を実数の定数とし、$f(x)=x^3-(2k-1)x^2+(k^2-k+1)x-k+1$とする。
(1)$f(k-1)$の値を求めよ。
(2)$\vert k \vert <2$のとき、不等式$f(x)≧0$を解け。
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$k$を実数の定数とし、$f(x)=x^3-(2k-1)x^2+(k^2-k+1)x-k+1$とする。
(1)$f(k-1)$の値を求めよ。
(2)$\vert k \vert <2$のとき、不等式$f(x)≧0$を解け。
二項定理を使ってあることに気付ける？【2017年一橋大学】
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#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#式と証明#式の計算（整式・展開・因数分解）#恒等式・等式・不等式の証明#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
$ P(0)=1,P(x+1)-P(x)=2x$を満たす整式$P(x)$を求めよ。
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$ P(0)=1,P(x+1)-P(x)=2x$を満たす整式$P(x)$を求めよ。
【数Ⅱ】式と証明：相加相乗平均の使い方その②
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
aを実数とするとき、a²-6a + 1/(a²-6a+10) の最小値を求めよ。
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aを実数とするとき、a²-6a + 1/(a²-6a+10) の最小値を求めよ。
【数Ⅱ】式と証明：相加相乗平均の使い方 その①
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#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
a＞０のとき（１）a＋9/a（２）a＋16/(a+2)（３）3a＋1/a の最小値をそれぞれ求めよ。
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a＞０のとき（１）a＋9/a（２）a＋16/(a+2)（３）3a＋1/a の最小値をそれぞれ求めよ。
福田の数学〜立教大学2021年経済学部第１問(1)〜相加平均と相乗平均の関係
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (1)\ x \gt 0における(x+\frac{1}{x})(x+\frac{2}{x}) の最小値は\ \boxed{\ \ ア\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (1)\ x \gt 0における(x+\frac{1}{x})(x+\frac{2}{x}) の最小値は\ \boxed{\ \ ア\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
【数Ⅱ】式と証明：対称式の性質をうまく使おう
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
x⁴+2x³+ax²+2x+1=0でx+1/x=tと置くとき与式をtの式で表せ
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x⁴+2x³+ax²+2x+1=0でx+1/x=tと置くとき与式をtの式で表せ
福田のわかった数学〜高校２年生011〜不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 不等式の証明\\
|x| \leqq 1,|y| \leqq 1のとき、不等式\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\
0 \leqq x^2+y^2-2x^2y^2+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} \leqq 1\\
が成り立つことを示せ。\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 不等式の証明\\
|x| \leqq 1,|y| \leqq 1のとき、不等式\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\
0 \leqq x^2+y^2-2x^2y^2+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} \leqq 1\\
が成り立つことを示せ。\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校２年生010〜不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 不等式の証明\\
kが(1)(2)(3)のそれぞれの場合に、不等式\\
x^2+y^2+z^2+k(xy+yz+zx) \geqq 0\\
が成り立つことを示せ。等号成立条件も求めよ。\\
(1)k=2 (2)k=-1 (3)-1 \lt k \lt 2
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 不等式の証明\\
kが(1)(2)(3)のそれぞれの場合に、不等式\\
x^2+y^2+z^2+k(xy+yz+zx) \geqq 0\\
が成り立つことを示せ。等号成立条件も求めよ。\\
(1)k=2 (2)k=-1 (3)-1 \lt k \lt 2
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校２年生第８回〜相加相乗平均の関係
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 相加相乗平均の関係\\
a\gt0,b\gt0,c\gt0のとき、次の最小値を求めよ。\\
(1)(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ \ \ \ \\
(2)(a+2b+4c)\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{4}{c}\right)
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 相加相乗平均の関係\\
a\gt0,b\gt0,c\gt0のとき、次の最小値を求めよ。\\
(1)(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ \ \ \ \\
(2)(a+2b+4c)\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{4}{c}\right)
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校２年生第７回〜２変数関数の最大最小
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 2変数関数の最大最小\\
x,yが0 \leqq x \leqq 1,0 \leqq y \leqq 1を \ \ \ \ \ \ \\\
満たして変化するときの2変数関数\\
f(x,y)=5xy-2(x+y)+1\\
の最大値M,最小値mを求めよ。\ \ \
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 2変数関数の最大最小\\
x,yが0 \leqq x \leqq 1,0 \leqq y \leqq 1を \ \ \ \ \ \ \\\
満たして変化するときの2変数関数\\
f(x,y)=5xy-2(x+y)+1\\
の最大値M,最小値mを求めよ。\ \ \
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校２年生第６回〜相加相乗平均の関係
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 相加相乗平均の関係\\
a,b,cを正の数とする。\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\
(1)\frac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}を示せ。\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\
(2)ab+bc+ca=k(定数)のとき、\ \ \ \ \ \ \ \\abcの最大値とその時のa,b,cを求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 相加相乗平均の関係\\
a,b,cを正の数とする。\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\
(1)\frac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}を示せ。\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\
(2)ab+bc+ca=k(定数)のとき、\ \ \ \ \ \ \ \\abcの最大値とその時のa,b,cを求めよ。
\end{eqnarray}
【数Ⅱ】式と証明：実数x,y,zがx+y+z=0を満たすとき(x+y)(y+z)(z+x)=-xyzが成り立つことを証明せよ。
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
教材：
#クリアー数学#クリアー数学Ⅱ・B#その他(中高教材)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
実数x,y,zがx+y+z=0を満たすとき(x+y)(y+z)(z+x)=-xyzが成り立つことを証明せよ。
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実数x,y,zがx+y+z=0を満たすとき(x+y)(y+z)(z+x)=-xyzが成り立つことを証明せよ。
【高校数学】部分分数分解の分母に二乗があるパターン
単元：
#恒等式・等式・不等式の証明#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#積分とその応用#不定積分#数学(高校生)
指導講師：
受験メモ山本
問題文全文(内容文)：
部分分数分解の分母に二乗がある場合の解説動画です
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部分分数分解の分母に二乗がある場合の解説動画です
京都大 5倍角 高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam Kyoto University
単元：
#大学入試過去問(数学)#三角関数#恒等式・等式・不等式の証明#加法定理とその応用#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
96年 京都大学過去問
(1)$\cos 5θ=f(\cos θ)$ をみたす多項式$f(x)$をもとめよ。
(2)$\cos \displaystyle \frac{π}{10}\cos \displaystyle \frac{3π}{10}\cos \displaystyle \frac{7π}{10}\cos \displaystyle \frac{9π}{10}=\displaystyle \frac{5}{16}$を示せ。
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96年 京都大学過去問
(1)$\cos 5θ=f(\cos θ)$ をみたす多項式$f(x)$をもとめよ。
(2)$\cos \displaystyle \frac{π}{10}\cos \displaystyle \frac{3π}{10}\cos \displaystyle \frac{7π}{10}\cos \displaystyle \frac{9π}{10}=\displaystyle \frac{5}{16}$を示せ。