【数Ⅲ】式と曲線：極方程式の直線のなす角

問題文全文(内容文)：
2直線

r (\sqrt{3} \cos θ + \sin θ) = 4

r (\sqrt{3} \cos θ - \sin θ) = 2

の交点の極座標を求めよ。またこの2直線のなす鋭角も求めよ。
（出典　数研出版サクシード数学Ⅲ）

チャプター：

00:00 オープニング
00:07 問題紹介
00:53 教科書の復習
01:56 解法解説

単元： #平面上の曲線#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C

教材： #サクシード#サクシード数学Ⅲ#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
2直線

r (\sqrt{3} \cos θ + \sin θ) = 4

r (\sqrt{3} \cos θ - \sin θ) = 2

の交点の極座標を求めよ。またこの2直線のなす鋭角も求めよ。
（出典　数研出版サクシード数学Ⅲ）

投稿日：2023.01.05

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

媒介変数表示

x

\sin t

y

\cos (t - \frac{π}{6}) \sin t

　(0≦

t

≦

π

)
で表される曲線をCとする。以下の問いに答えよ。
(1)

\frac{d x}{d t}

=0 または

\frac{d y}{d t}

=0 となる

t

の値を求めよ。
(2)Cの概形を

x y

平面上に描け。
(3)Cの

y

≦0 の部分と

x

軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

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問題文全文(内容文)：

a, b

は実数であり,

b \neq 0

である.

O (0, 0) . P (1, 0), Q (a, b)

(1)

△ O P Q

が鋭角三角形になる

a, b

の条件を不等式で表せ.
(2)

m, n

整数,

a, b

は(1)の条件を満たすとき,

(m + n a)^{2} - (m + n a) + n^{2} b^{2} ≧ 0

を示せ.

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問題文全文(内容文)：
点(1,9)を通り、y軸と平行でなく放物線

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a, h

を正の実数とする。座標平面において、原点Oからの距離が
直線

x = h

からの距離の

a

倍であるような点

P

の軌跡を考える。点

P

の座標を

(x, y)

とする
と、

x, y

は次の方程式を満たす。

(1 - ア) x^{2} + 2 イ x + y^{2} = ウ . . . (1)

ア, イ, ウ

の解答群

⓪ a^{2} ① h^{2} ② a^{3} ③ a^{2} h ④ a h^{2}

⑤ h^{3} ⑥ b^{4} ⑦ a^{2} h^{2} ⑧ a h^{3} ⑨ h^{4}

次に、座標平面の原点

O

を極、

x

軸の正の部分を始線とする極座標を考える。
点

P

の極座標を

(r θ)

とする。

r ≦ h

を満たすとき、
点

P

の直交座標

(x, y)

を

a, h, θ

を用いて表すと

(x, y) = (\frac{エ}{オ} \cos θ, \frac{エ}{オ} \sin θ) . . . (2)

エ, オ

の解答群

⓪ h ① a h ② h^{2} ③ a h^{2} ④ 1 + a \cos θ

⑤ 1 + a \sin θ ⑥ a \cos θ - 1 ⑦ a \sin θ - 1 ⑧ 1 - a \cos θ ⑨ 1 - a \sin θ

(1)から、

a = カ

のとき、点

P

の軌跡は放物線

x = キ y^{2} + ク

となる。
この放物線とy軸で囲まれた図形の面積

S

は

S = 2 \int_{0}^{ケ} x d y = 2 \int_{0}^{ケ} (キ y^{2} + ク) d y =

\frac{コ}{サ} h^{2}

である。したがって、(2)を利用すれば、置換積分法により次の等式が成り立つことが分かる。

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos θ}{(1 + \cos θ)^{2}} d θ = \frac{シ}{ス}

キ, ク, ケ

の解答群

⓪ h ① 2 h ② \frac{h}{2} ③ - \frac{h}{2} ④ \frac{1}{h}

⑤ - \frac{1}{h} ⑥ \frac{1}{2 h} ⑦ - \frac{1}{2 h} ⑧ h^{2} ⑨ - h^{2}

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