問題文全文(内容文)：
大きさが2で,x軸の正の向きとなす角が45°、y軸の正の向きとなす角が60°であるような空間ベクトルを成分表示せよ。また,そのベクトルがz軸の正の向きとなす角は何度か。

問題文全文(内容文)：
2 $k > 1$ とする。下図のような $1$ 辺の長さが $1$ の立方体 $\mathrm{OADB\text{-}CEFG}$ において, $\vec{\mathrm{DL}} = k \vec{\mathrm{DF}}$ となる点を $\mathrm{L}$ とし, 直線 $\mathrm{OL}$ と面 $\mathrm{CEFG}$ との交点を $\mathrm{M}$ とする。$\vec{\mathrm{OA}} = \vec{a}$, $\vec{\mathrm{OB}} = \vec{b}$, $\vec{\mathrm{OC}} = \vec{c}$ とする。(1) $\vec{\mathrm{OM}}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表すと [ ア ] であり, $\vert{}\vec{\mathrm{OM}}\vert{} =$ [ イ ] である。(2) $\cos \angle \mathrm{AOM} =$ [ ウ ] であり, 三角形 $\mathrm{OAM}$ の面積は [ エ ] である。また, 点 $\mathrm{C}$ から平面 $\mathrm{OAM}$ へ下ろした垂線と, 平面 $\mathrm{OAM}$ との交点を $\mathrm{H}$ とする。垂線 $\mathrm{CH}$ の長さは [ オ ] であり, 四面体 $\mathrm{OAMC}$ の体積は [ カ ] である。(3) 点 $\mathrm{O}$ と異なる点 $\mathrm{N}$ が線分 $\mathrm{OF}$ 上にあり, $\vec{\mathrm{ON}} \perp \vec{\mathrm{MN}}$ を満たすとき, $\vec{\mathrm{ON}} =$ [ キ ] $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ である。また, 四面体 $\mathrm{ABCN}$ の体積は [ ク ] である。

問題文全文(内容文)：
点 O を原点とする座標空間に 3 点 A(-I, 0 , ー 2 ), B(-2, ー 2 , ー 3 ), C(1, 2 , ー 2 )がある。
(a)ベクトル$\overrightarrow{ AB }と\overrightarrow{ AC }の内積は\overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AC }=\fbox{ アイ }$であり、$\angle ABCの外接円の半径は\sqrt{\fbox{ウエ}}$である。$\angle ABC$の外接円の中心を点 P とすると、
$\overrightarrow{ AP }=\fbox{オ}\overrightarrow{ AB }+\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}\overrightarrow{ AC }$
が成り立つ。
(b)$\angle ABC$の重心を点 G とすると、$\overrightarrow{ OG }=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}(\overrightarrow{ OA }
+\overrightarrow{ OB }+\overrightarrow{ OC })$であり、線分OBを 2 : 1 に内分する点を Q とすると、$\overrightarrow{ AQ }=(\frac{\fbox{コサ}}{\fbox{シ}},\frac{\fbox{スセ}}{\fbox{ソ}},\fbox{タ})$となる。
(c)線分 OC を 2 : I に内分する点を R とし、 3 点 A, Q, R を通る平面を$\alpha$と直線OG との交点を S とする。点 S は平面にあることから、
$\overrightarrow{ OS }=t\overrightarrow{ OA }+u\overrightarrow{ OB }+v\overrightarrow{ OC }$
(ただし、$t,u,vはt+\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}u+\frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}v=1$を満たす実数)
と書けるので、$\overrightarrow{ OS }=\frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}\overrightarrow{ OG }$となることがわかる。
平面$\alpha$上において、点Sは三角形AQRの$\fbox{ヌ}$に存在し、四面体 O-AQR の体積は四面体のO-ABCの体積の$frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}}$倍である。

2023杏林大学過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ Oを原点とする座標空間において、3点A(4,2,1), B(1,-4,1), C(2,2,-1)を通る平面を$\alpha$とおく。また、球面Sは半径が9で、Sと$\alpha$の交わりはAを中心としBを通る円であるとする。ただし、Sの中心Pのz座標は正とする。
(1)線分APの長さを求めよ。
(2)Pの座標を求めよ。
(3)Sと直線OCは2点で交わる。その2点間の距離を求めよ。

2023北海道大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
四面体ABCDに対して,等式$\overrightarrow{ AP }+3\overrightarrow{ BP }+4\overrightarrow{ CP }+8\overrightarrow{ DP }=\overrightarrow{ 0 }$を満たす点Pはどのような位置にあるか｡