福田の数学〜神戸大学2023年理系第5問〜媒介変数表示で表された曲線と面積

問題文全文(内容文)：

5

媒介変数表示

x

\sin t

y

\cos (t - \frac{π}{6}) \sin t

　(0≦

t

≦

π

)
で表される曲線をCとする。以下の問いに答えよ。
(1)

\frac{d x}{d t}

=0 または

\frac{d y}{d t}

=0 となる

t

の値を求めよ。
(2)Cの概形を

x y

平面上に描け。
(3)Cの

y

≦0 の部分と

x

軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

2023神戸大学理系過去問

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#積分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#神戸大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

媒介変数表示

x

\sin t

y

\cos (t - \frac{π}{6}) \sin t

　(0≦

t

≦

π

)
で表される曲線をCとする。以下の問いに答えよ。
(1)

\frac{d x}{d t}

=0 または

\frac{d y}{d t}

=0 となる

t

の値を求めよ。
(2)Cの概形を

x y

平面上に描け。
(3)Cの

y

≦0 の部分と

x

軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

2023神戸大学理系過去問

投稿日：2023.06.24

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単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#九州大学#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

x y

平面上の曲線Cを、媒介変数tを用いて次のように定める。

x = 5 \cos t + \cos 5 t, y = 5 \sin t - \sin 5 t (- π ≦ t < π)

以下の問いに答えよ。
(1)区間

0 < t < \frac{π}{6}

において、

\frac{d x}{d t} < 0, \frac{d y}{d x} < 0

であることを示せ。
(2)曲線Cの

0 ≦ t ≦ \frac{π}{6}

の部分、x軸、直線

y = \frac{1}{\sqrt{3}} x

で囲まれた
図形の面積を求めよ。
(3)曲線Cはx軸に関して対称であることを示せ。また、C上の点を
原点を中心として反時計回りに

\frac{π}{3}

だけ回転させた点はC上
にあることを示せ。
(4)曲線Cの概形を図示せよ。

2022九州大学理系過去問

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福田の数学〜早稲田大学2021年社会科学部第１問〜三角関数で表された点の軌跡

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#三角関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#早稲田大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　a,bを定数とし、関数

f (x) = x^{2} + a x + b

　とする。方程式

f (x) = 0

の2つの解

α, β

が次式で与えられている。

α = \frac{\sin θ}{1 + \cos θ}

β = \frac{\sin θ}{1 - \cos θ}

ここで

θ

は、

0 < θ < π

の定数である。次の問いに答えよ。

(1) a, b

を

θ

を用いて表せ。

(2) θ

が

0

< θ π

で変化するとき、放物線

y = f (x)

の頂点の軌跡を求めよ。

(3) \int_{0}^{2 \sin θ} f (x) d x = 0

　となる

θ

の値を全て求めよ。

2021早稲田大学社会科学部過去問

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福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第４問〜極方程式と曲線で囲まれた面積

単元： #平面上の曲線#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#面積・体積・長さ・速度#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

座標平面の原点Oを極、x軸の正の部分を始線とする極座標

(r, θ)

を考える。

k > 0

として、極方程式

r (\sqrt{\cos θ} + \sqrt{\sin θ})^{2} = k (0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2})

で表される曲線を

C (k)

とする。曲線

C (k)

上の点を直交座標

(x, y)

で表せばxの
とりうる値の範囲は、

ア ≦ x ≦ イ

である。
曲線

C (k)

とx軸、y軸で囲まれた図形の面積を

S (k)

とおけば、

S (k) = ウ

でなる。直交座標が

(\frac{k}{4}, \frac{k}{4})

である曲線

C (k)

上の点Aにおける曲線

C (k)

の接線l
の方程式は、

y = エ

となる。曲線

C (k)

と直線l、およびx軸で囲まれた
図形の面積を

T (k)

とおけば、

S (k) = オ T (k)

が成り立つ。

0 < m < n

を
満たす実数

m, n

に対して、

S (n) - S (m)

が

T (n)

と等しくなるのは、

\frac{m^{2}}{n^{2}} = \frac{カ}{キ}

のときである。

イ 、 ウ

の解答群

⓪ \sqrt{k} ① k ② k^{2} ③ \frac{\sqrt{2}}{2} ④ \frac{\sqrt{2}}{3}

⑤ \frac{k}{2} ⑥ \frac{k}{3} ⑦ \frac{k^{2}}{4} ⑧ \frac{k^{2}}{5} ⑨ \frac{k^{2}}{6}

エ

の解答群

⓪ x + \frac{k}{2} ① x + \frac{k}{4} ② - x + \frac{k}{2} ③ - x + \frac{k}{4} ④ 2 x - \frac{k}{2}

⑤ 2 x - \frac{k}{4} ⑥ 2 x - \frac{3 k}{4} ⑦ - 2 x + \frac{k}{2} ⑧ - 2 x + \frac{k}{4} ⑨ - 2 x + \frac{3 k}{4}

2021明治大学全統過去問

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重積分⑦-2【極座標による変数変換】（高専数学　微積II，数検1級1次解析対応）

単元： #大学入試過去問(数学)#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#平面上の曲線#積分とその応用#2次曲線#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#数学検定#数学検定1級#数学(高校生)#数C#数Ⅲ#高専(高等専門学校)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 a^{2}

z ≧ 0

(x - a)^{2} + y^{2} = a^{2}

z ≧ 0

xy平面 (a>0)で囲まれた体積Vを求めよ。

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福田のわかった数学〜高校２年生041〜軌跡(8)媒介変数表示の軌跡(1)

単元： #数Ⅱ#平面上の曲線#図形と方程式#軌跡と領域#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

II

　軌跡(8)　媒介変数表示(1)

{\begin{matrix} x = 2 \cos θ + \sin θ \\ y = \cos θ - 2 \sin θ \end{matrix} (0 ≦ θ ≦ π)

を満たす

(x, y)

の軌跡を図示せよ。
また、

0 ≦ θ ≦ \frac{3}{2} π

のときはどうか。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜神戸大学2023年理系第5問〜媒介変数表示で表された曲線と面積

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