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\(\boxed{4}\) 次の文章を読み、下の問1～5に答えなさい。〔解答番号 \(\boxed{1}\) ～ \(\boxed{5}\) 〕

図のように、気圧調整器で気圧を調整できる部屋の中に、熱を通さない球形容器Cを入れ、C内に単原子分子\(N\)個からなる理想気体を封入する。この球形容器C内の圧力は部屋の気圧と常に等しく保たれ、部屋の気圧が変化すると、Cの大きさも球形の形を変えることなく変化する。気体を封入した時点の球形容器Cの内半径は\(r\)であった。
球形容器C内は熱平衡状態に保たれ、分子は様々な方向に飛び回っている。この運動を次のように単純化して考える。分子はすべて同じ速さ\(v\)で運動し、分子同士は衝突せず、壁に衝突するまでは等速直線運動を行う。また、球形容器Cの内壁はなめらかで、分子はこのなめらかな内壁と弾性衝突し、衝突の前後で速さは変化しない。このような分子運動から気体の圧力を考えてみよう。気体分子1個の質量を\(m\)とする。ここで、球形容器Cの内壁に入射角\(\theta\)で衝突する分子Aに着目する。

問1 壁との1回の衝突で分子Aが壁に与える力積の大きさはいくらか。正しいものを、次の①～⑥のうちから一つ選びなさい。\(\boxed{1}\)

① \(mv \sin\theta\) 　 ② \(2mv \sin\theta\) 　 ③ \(mv \cos\theta\)
④ \(2mv \cos\theta\) 　 ⑤ \(mv\) 　 ⑥ \(2mv\)

問2 単位時間当たりに分子Aが壁に与える力積の大きさはいくらか。正しいものを、次の①～⑥のうちから一つ選びなさい。\(\boxed{2}\)

① \(\frac{mv^2}{4r}\) 　 ② \(\frac{mv^2}{2r}\) 　 ③ \(\frac{mv^2}{r}\) 　 ④ \(\frac{3mv^2}{2r}\) 　 ⑤ \(\frac{2mv^2}{r}\) 　 ⑥ \(\frac{4mv^2}{r}\)

問3 球形容器C内の気体の圧力\(p\)はいくらか。正しいものを、次の①～⑥のうちから一つ選びなさい。\(p = \boxed{3}\)

① \(\frac{Nmv^2}{4\pi r^3}\) 　 ② \(\frac{Nmv^2}{3\pi r^3}\) 　 ③ \(\frac{Nmv^2}{2\pi r^3}\) 　 ④ \(\frac{3Nmv^2}{4\pi r^3}\) 　 ⑤ \(\frac{Nmv^2}{r^3}\) 　 ⑥ \(\frac{3Nmv^2}{2\pi r^3}\)

部屋の気圧が\(p_1\)のとき、球形容器Cの内半径は\(r_1\)であった。この時点から、部屋内をゆっくりと減圧して行くと、球形容器Cがゆっくりと膨張して行き、部屋の気圧を\(p_2\)にすると、Cの内半径は\(r_2\)になった。部屋の気圧が\(p_1\)のときの分子の速さを\(v_1\)、気圧が\(p_2\)のときの分子の速さを\(v_2\)とする。単原子分子理想気体の断熱変化では気体の圧力\(p\)と体積\(V\)の間に、「\(pV^{\frac{5}{3}} = \text{一定}\)」の関係が成り立つ。

問4 \(v_1\)、\(r_1\)、\(r_2\)を用いて\(v_2\)はどのように表されるか。正しいものを、次の①～⑥のうちから一つ選びなさい。\(v_2 = \boxed{4} \times v_1\)

① \(\frac{r_1}{r_2}\) 　 ② \(\frac{r_2}{r_1}\) 　 ③ \(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{\frac{1}{2}}\) 　 ④ \(\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{\frac{2}{3}}\) 　 ⑤ \(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{\frac{2}{3}}\) 　 ⑥ \(\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{\frac{5}{3}}\)

問5 この断熱変化で球形容器C内の気体が、Cの壁に対してした仕事\(W\)はいくらか。正しいものを、次の①～⑥のうちから一つ選びなさい。\(W = \boxed{5}\)

① \(\frac{Nmv_1^2}{2}\left(1 - \frac{r_1}{r_2}\right)\) 　 ② \(\frac{Nmv_1^2}{2}\left(1 - \frac{r_2}{r_1}\right)\) 　 ③ \(\frac{Nmv_1^2}{2}\left\{1 - \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\right\}\)
④ \(\frac{Nmv_1^2}{2}\left\{1 - \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2\right\}\) 　 ⑤ \(\frac{Nmv_1^2}{2}\left\{1 - \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3\right\}\) 　 ⑥ \(\frac{Nmv_1^2}{2}\left\{1 - \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3\right\}\)

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【センター2018 物理】第３問　解答・解説

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1 molの単原子分子の理想気体が，なめらかに動くピストンを取り付けたシリンダー内に閉じ込められている。図1は、この気体の圧力と体積Vの変化の過程を表す。はじめ状態A にあった気体を状態 B，状態 Cの順に変化させた後，再び状態Aにもどした。過程A→Bは定積変化，過程B→Cは断熱変化，過程C→Aは定圧変化である。
問1 外部に正の仕事をする過程をすべてあげたものとして正しいものを，次の①〜⑥のうちから一つ選べ。
問2 外部に熱を放出する過程をすべてあげたものとして正しいものを，次の①〜⑥のうちから一つ選べ。
間3 状態Aの温度(絶対温度)をTA， 状態Bの温度をTB，状態Cの温度をTcとする。TA，TB，Tcの関係を表す式として正しいものを，次の①〜⑥のうちから一つ選べ。

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起電力 $V$ の直流電源、抵抗値 $2R$ の抵抗 $R_1$、抵抗値 $4R$ の抵抗 $R_2$、抵抗値 $6R$ の抵抗 $R_3$、抵抗値を自由に変化できる可変抵抗 $R_V$、電気容量 $2C_0$ のコンデンサー $C$、およびスイッチ $S_1, S_2$ を用いて次のような回路を構成した。電源の両端に対して、$R_1$ と $R_V$ を直列に接続した「上側の枝」と、$R_2$ と $R_3$ を直列に接続した「下側の枝」が互いに並列となるように接続されている。また、$R_1$ と $R_V$ の間の接点 A と、$R_2$ と $R_3$ の間の接点 P の間には、コンデンサー $C$ とスイッチ $S_1$ が直列に接続されて橋渡しされている。スイッチ $S_2$ は、回路全体の接続状態を切り替えることができる切替スイッチである。以下の各問いに答えよ。

【問1】スイッチ $S_1$ を閉じた状態で $R_V$ の抵抗値を変化させ、コンデンサー $C$ の極板間の電位差を $0$ とした。このとき、$R_1$ を流れる電流の大きさは $\frac{\fbox{ 15 }}{5} \cdot \frac{V}{R}$ であり、$R_3$ の消費電力は $\fbox{ 7 } \cdot \left(\frac{V}{R}\right)^2$ [W] である。

【問2】次に、$R_V$ の抵抗値を【問1】の最後の状態の2倍（$6R$）に変更した。十分時間が経過した後、$C$ の極板間の電位差は $\fbox{ 13 } \cdot V$ である。

【問3】【問2】の最後の状態（コンデンサーに一定の電荷が蓄えられた状態）で、スイッチ $S_1$ を開いた。$S_1$ を開いた直後に $R_2$ を流れる電流の大きさは $\fbox{ 3 } \cdot \frac{V}{R}$ である。$S_1$ を開いてから十分時間が経過するまでに、$R_2$ で消費されるエネルギーは $\fbox{ 1 } \cdot C_0 V^2$ である。

【問4】スイッチ $S_2$ を切り替えて接点 B に接続し、電源とコンデンサーを回路から切り離した（コンデンサーに蓄えられていた電荷は $0$ とする）。この結果、抵抗 $R_1(2R), R_2(4R), R_3(6R)$ および可変抵抗 $R_V(6R)$ のみで構成される閉回路が形成された。このとき、$R_1$ を流れる電流の大きさは $\fbox{ 2 } \cdot \frac{V}{R}$ であり、$R_V$ を流れる電流の大きさは $\fbox{ 11 } \cdot \frac{V}{R}$ である。