問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$　グラフを描こう(9)
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=t\cos t-\sin t\\
y=t\sin t+\cos t
\end{array}
\right.
(0 \leqq t \leqq 2\pi)
\end{eqnarray}$
のグラフを描け。ただし凹凸は調べなくてよい。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{3} a\gt 0$とする。座標平面で、原点$O$を中心とする半径$a$の定円を$C_1$とし、$C_1$と外接する半径$a$の円を$C_2$とする。円$C_2$が定円$C_1$と外接しながらすべることなく転がるとき、$C_2$上の定点$P$が描く曲線を考えたい。始めに$C_2$の中心が$(2a,0)$にあり、$P$が$(a,0)$にあるとする。$C_2$の中心が点$(2a,0)$から原点$O$を中心に反時計回りに$θ$だけ回転した位置にきたとき、$C_1$と$C_2$の接点を通る$C_1$と$C_2$の共通の接線を$l_θ$とする。$l_θ$の方程式は$a=(\boxed{ア})x+(\boxed{イ})y$である。このとき、$P$は直線$l_θ$に関して$(a,0)$と対称な点であるので、$P$の座標を$(x,y)$とすると、$P$の軌跡は$θ$を媒介変数として$x=2a(\boxed{ウ})cosθ+a, y=2a(\boxed{ウ})sinθ$と表される。
$x$と$y$をそれぞれ$θ$で微分すると$\frac{dx}{dθ}=2a(\boxed{エ}),\frac{dy}{dθ}=2a(\boxed{オ})$となるので、$θ$が0から2まで動くとき、$P$が描く曲線の長さは$\boxed{カキ}a$である。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ $t$を実数とし、$xy$平面上の点P($\cos 2t$, $\cos t$)および点Q($\sin t$, $\sin 2t$)を考える。
(1)点Pと点Qが一致するような$t$の値をすべて求めよ。
(2)$t$が0＜$t$＜$2\pi$ の範囲で変化するとき、点Pの軌跡を$xy$平面上に図示せよ。
ただし、$x$軸、$y$軸との共有点がある場合は、それらの座標を求め、図中に記せ。

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$　軌跡(8)　媒介変数表示(1)
$\left\{\begin{array}{1}
x=2\cos\theta+\sin\theta\\
y=\cos\theta-2\sin\theta
\end{array}\right.　　
(0 \leqq \theta \leqq \pi)$
を満たす$(x,y)$の軌跡を図示せよ。
また、$0 \leqq \theta \leqq \frac{3}{2}\pi$のときはどうか。

問題文全文(内容文)：
座標平面において、原点を極とし、x軸の正の部分を始線とする極座標を考え
る。平面上を運動する点Pの極座標$(r,\ θ)$が、時刻$t \geqq 0$の関数として、
$r=1+t,\ \ \ θ=\log(1+t)$
で与えられるとする。時刻$t=0$にPが出発してから初めてy軸上に到着するまで
にPが描く軌跡をCとする。
(1)$\ t \gt 0$において、Pが初めてy軸上に到着するときのtの値を求めよ。
(2)C上の点のx座標の最大値を求めよ。
(3)Cの長さを求めよ。
(4)Cを座標平面上に図示せよ。
(5)Cとx軸とy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

2022上智大学理系過去問