福田の数学〜筑波大学2023年理系第4問〜定積分と不等式と回転体の体積

問題文全文(内容文)：

4

a, bを実数とし、

f (x)

x

a \sin x

g (x)

b \cos x

とする。
(1)定積分

\int_{- π}^{π}

f (x) g (x) d x

を求めよ。
(2)不等式

\int_{- π}^{π}

{f (x) + g (x)}^{2} d x

≧

\int_{- π}^{π}

{f (x)}^{2} d x

が成り立つことを示せ。
(3)曲線

y

f (x)

g (x)

|、2直線

x

- π

x

π

、および

x

軸で囲まれた図形を

x

軸の周りに1回転させてできる回転体の体積をVとする。このとき不等式
V≧

\frac{2}{3} r^{2}

(r^{2} - 6)

が成り立つことを示せ。さらに、等号が成立するときのa, bを求めよ。

2023筑波大学理系過去問

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#体積・表面積・回転体・水量・変化のグラフ#数学(高校生)#筑波大学#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

a, bを実数とし、

f (x)

x

a \sin x

g (x)

b \cos x

とする。
(1)定積分

\int_{- π}^{π}

f (x) g (x) d x

を求めよ。
(2)不等式

\int_{- π}^{π}

{f (x) + g (x)}^{2} d x

≧

\int_{- π}^{π}

{f (x)}^{2} d x

が成り立つことを示せ。
(3)曲線

y

f (x)

g (x)

|、2直線

x

- π

x

π

、および

x

軸で囲まれた図形を

x

軸の周りに1回転させてできる回転体の体積をVとする。このとき不等式
V≧

\frac{2}{3} r^{2}

(r^{2} - 6)

が成り立つことを示せ。さらに、等号が成立するときのa, bを求めよ。

2023筑波大学理系過去問

投稿日：2023.07.01

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{e}^{e^{e}} \frac{l o g (l o g x)}{x l o g x} d x

を計算せよ。

出典：2006年慶應義塾大学　入試問題

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{l o g 7} (\frac{e^{x}}{1 + e^{x}})^{3} d x

を計算せよ。

出典：2009年福岡教育大学　入試問題

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a > 0

\int_{0}^{1} \frac{d x}{(e^{2 x} + a) (e^{- 2 x} + a)}

を計算せよ。

出典：2018年弘前大学　入試問題

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【高校数学】筑波大学の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分95日目~47都道府県制覇への道~【㊳茨城】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【筑波大学 2023】

a, b

を実数とし、

f (x) = x + a s i n x, g (x) = b c o s x

とする。
(1) 定積分

\int_{- π}^{π} f (x) g (x) d x

を求めよ。
(2)不等式

\int_{- π}^{π} {f (x) + g (x)}^{2} d x ≧ \int_{- π}^{π} {f (x)}^{2} d x

が成り立つことを示せ。
(3) 曲線

y = | f (x) + g (x) |

, 2直線

x = - π, x = π,

および

x

軸で囲まれた図形を

x

軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を

V

とする。このとき不等式

V ≧ \frac{2}{3} π^{2} (π^{2} - 6)

が成り立つことを示せ。さらに、等号が成立するときの

a, b

を求めよ。

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

f (x) = \sin^{2} x + 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (t) \cos t d x

を満たす

f (x)

を求めよ。

出典：2016年山形大学　入試問題

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜筑波大学2023年理系第4問〜定積分と不等式と回転体の体積

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