問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$　三角関数の極限(4)
次の極限を求めよ。
(1)$\lim_{x \to 0}x\sin\displaystyle \frac{1}{x}$　　(2)$\lim_{x \to -\infty}x\sin\displaystyle \frac{1}{x}$

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極限の考え方の基本です。変形が必要な場合と必要でない場合の違いをチェックしましょう！

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$f(x)=-\displaystyle \frac{1}{2}x+3$とする。
$x_1=1$とおいて数列$x_n=f(x_{n-1})$　$n=2,3,・・・$をつくり、平面座標上に点$P_n(x_n,f(x_n))$をとる。
このとき、次の各問いに答えよ。
（1）
数列$\{x_n\}$の一般項$x_n$を求めよ。

（2）
動点$P$が点$P_1$を出発して、$P_2,P_3,・・・,P_n,・・・$と進むとき、動点$P$はどのような点に近づくか。
その座標を求めよ。

（3）
線分$P_nP_{n+1}$の長さを$l_n$　$n=1,2,3,・・・$とする。
$L=\displaystyle \sum_{n=1}^n l_n$を求めよ。

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次の極限を求めよ。

①$\displaystyle \lim_{x\to \infty}(3x^2-5x+2)$

②$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{5x+4}{x^2+3x-1}$

③$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{2x^2-1}{3x^2-4x+2}$

④$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{x^2+3x}{x-2}$

⑤$\displaystyle \lim_{x\to \infty}(\sqrt{x^2+3x-1}+x)$

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数学$\textrm{III}$　格子点の個数と極限
右図の斜線部分(※動画参照)に含まれる
格子点の総数を$a_n$とする。
$\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n^2}$を求めよ。