問題文全文(内容文)：
次の方程式を満たす整数$x,y$の組$(x,y)$をすべて求めよ。
$x^3+x^2-xy+x+y+4=0$

出典：2019年東北大学医学部AO

問題文全文(内容文)：

$\boxed{1}$

座標平面上の放物線$C_1:y=x^2$と

円$C_2:x^2+(y-b)^2=a^2$を考える。

ただし、$a,b$は正の実数とする。

(1)$C_1$と$C_2$が共有点をちょうど$3$つもつための

必要十分条件は

$b=\boxed{ア}a$かつ$a\gt \dfrac{\boxed{イ}}{\boxed{ウ}}$である。

(2)$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で接するための

必要十分条件は

$b=\boxed{エ}a^2+\dfrac{\boxed{オ}}{\boxed{カ}}$かつ$a\gt \dfrac{\boxed{キ}}{\boxed{ク}}$である。

(ただし、$C_1$と$C_2$が共有点$P$で接するとは、

$P$における$C_1$の接線と$C_"$の接線が等しいことをいう)

また、このとき$2$つの接点のうち$x$座標が

正のものを$A(\alpha,\beta)$とすると、

$\beta=\boxed{ケ}a^2+\dfrac{\boxed{コ}}{\boxed{サ}}$である。

$A$における共通の接線の傾きが$\sqrt3$であるとき、

直線$y=\beta$の下側で、

$C_1$と$C_2$に囲まれた部分の面積は

$\dfrac{\boxed{シ}}{\boxed{ス}}\sqrt{\boxed{セ}}-\dfrac{\pi}{\boxed{ソ}}$である。

$2025$年上智大学TEAP利用型文系過去問題

問題文全文(内容文)：
(2)角θに関する方程式
$\cos 4θ=\cos θ(0\leqq θ\leqq \pi)$
について考える。①を満たすθは小さい方から順に
$θ=0,\frac{\boxed{キ}}{\boxed{ク}}\pi,\frac{\boxed{ケ}}{\boxed{コ}}\pi,\frac{\boxed{サ}}{\boxed{シ}}\pi$
の4つである。一方、θが①を満たすとき、$t=\cos θ$とおくとtは
$\boxed{ス}t^4 - \boxed{セ}t^2+\boxed{ソ}=t$
を満たす。$t=1,\cos \frac{\boxed{ケ}}{\boxed{コ}}\pi$は②の解なので、2次方程式
$\boxed{タ}t^2+\boxed{チ}t-1=0$
は$\cos \frac{\boxed{キ}}{\boxed{ク}}\pi,\cos \frac{\boxed{サ}}{\boxed{シ}}\pi$を解にもつ。これより、
$\cos \frac{\boxed{キ}}{\boxed{ク}}\pi=\frac{\sqrt{\boxed{ツ}}-\boxed{テ}}{\boxed{ト}},\cos \frac{\boxed{サ}}{\boxed{シ}}\pi=-\frac{\sqrt{\boxed{ツ}}+\boxed{テ}}{\boxed{ト}}$であることが分かる。

問題文全文(内容文)：
(1)5つの実数の総和が1であるならば、これらのうち少なくとも1つは$\dfrac{1}{5}$以上で あることを証明しよう。
(2)(1)の結果を利用して、$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=x_1・x_2・x_3・ x_4・x_5$を満たす正の整数$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$(ただし、 $x_1≦x_2≦x_3≦x_4≦x_5$)の組をすべて求めよう。

問題文全文(内容文)：
自然数a,b,cが等式$a^2+b^2＝c^2$を満たすときa,b,cの少なくとも一つは5の倍数であることを示せ