問題文全文(内容文)：

$a_n=\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{(1-x)^{n-1}}{(n-1)!}e^x dx$を利用して

$e=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots$

を証明して下さい。
　　　　　

問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$

$n$を$2$以上の自然数とする。次の問いに答えよ。

(1)$n^3-n$は$6$のばいすうであることを示せ。

(2)$n^4+2n^3-n^2-2n$は$24$の倍数であることを示せ。

(3)$n$に関する数学的帰納法を用いて、

$n^5+4n$は$5$の倍数であることを示せ。

(4)$n^9+2n^8-n^7-2n^6+4n^5+8n^4-4n^3-8n^2$は

$120$の倍数であることを示せ。

$2025$年立教大学理学部過去問題

問題文全文(内容文)：

$\boxed{2}$

数列$\{a_n\}$に対して

$T_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{(k+2)!}{(k-1)!}a_k (n=1,2,3,\cdots)$

とおくとき、

$T_n=\left(n-\dfrac{1}{2}\right)^2 (n=1,2,3,\cdots)$

が成り立つとする。ただし、$0!=1$である。

(1)$a_1=\dfrac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}},a_2=\dfrac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}$である。

(2)$n\geqq 2$に対して$T_n-T_{n-1}=\boxed{カ}n-\boxed{キ}$が

成り立つから、

$a_n=r^n\dfrac{n-\boxed{ク}}{(n+s)(n+t)(n+u)} (n=2,3,4,\cdots)$

である。ただし、ここに$r=\boxed{ケ}$であり、

$s\lt t \lt u$として$s=\boxed{コ},t=\boxed{サ},u=\boxed{シ}$である。

$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題

問題文全文(内容文)：
実数$x$に対し、$[x]$を$x$以下の最大の整数とする。
たとえば、$[2]=2,\left[ \dfrac{ 7 }{ 5 } \right]=1$である。
数列$\{a_n\}$を$a_k=\left[ \dfrac{ 3k }{ 5 } \right](k=1,2,・・・)$と定めるとき、以下の問いに答えよ。
（1）$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$を求めよ。
（2）$a_{k+5}=a_k+3(k=1,2,・・・)$を示せ。
（3）自然数$n$に対して、$\displaystyle \sum_{k=1}^{5n} a_k$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$n$は整数とする。
(1)連続する2個の整数には、必ず$2$の倍数が含まれることを利用して、 $n^2+3n$が$2$の倍数であることを証明せよ。
(2)連続する3個の整数には、必ず$3$の倍数が含まれることを利用して、 $4n^3+3n^2+2n$が$3$の倍数であることを証明せよ。