問題文全文(内容文)：
$n\geqq 3$とする。$1,2,...,n$のうちから重複を許して6個の数字を選びそれらを並べた順列を考える。このような順列のうちで、どの数字もそれ以外の5つの数字のどれかに等しくなっているようなものの個数を求めよう。

問題文全文(内容文)：
箱Aには赤玉3個と白玉2個、箱Bには赤玉と白玉2個ずつ入っている。
(1)箱Aから玉を1個取り出し、それを箱Bに入れた後、箱Bから玉を1個取り出すとき、それが赤玉である確率を求めよ。
(2)箱Aから玉を2個取り出し、それを箱Bに入れた後、箱Bから玉を2個同時に取り出すとき、それらが2個とも赤玉である確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{1}$

(2)赤玉$3$個と白玉$4$個を無作為に$1$列に

並べるとき、

白玉が両端にある確率は$\boxed{イ}$である。

$2025$年立教大学経済学部過去問題

問題文全文(内容文)：
次の問題
問題
表面と裏面が出る確率がそれぞれであるコインを投げる試行を繰り返し、同
じ面が3回連続して出た時点で試行を終了する。n回投げ終えた段階で試行が
終了する確率 $p_n$を求めよ。
に対する次の答案Aについて以下の問いに答えよ。
(1) もし答案Aに誤りがあれば誤りを指摘し、その理由を述べよ。ただし、すでに
指摘してある誤った結論から論理的に導き出した結論を誤りとして指摘する必要
はない。誤りがないときは「誤りなし」と答えよ。
(2) 答案Aで導かれたp_nと正解の$p_n$とで値が異なるとき、値が異なる最小のnを
求め、そのnに対する正解のpnの値を答えよ。そのようなnがないときは
「すべて一致する」と答えよ。

答案A
自然数nに対して、コインをn回投げ終えた段階で、その後最短で試行が終了するために
必要な回数がk回($k \geqq 0$)である確率を$p_n(k)$とする。このとき、
kは0,1,2のいずれかであるから、確率の総和は
$p_n(0)+p_n(1)+p_n(2)=1$
である。また、$p_n(0)=p_n,p_{n+1}(0)=\frac{1}{2}p_n(1),p_{n+2}(0)=\frac{1}{4}p_n(2)$であるから漸化式
$p_n+2p_{n+1}+4p_{n+2}=1　(n \geqq 1)$
を得る。ここで$\frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1$なので、$q_n=2^n(p_n-\frac{1}{7})$とすれば
$q_n+q_{n+1}+q_{n+2}=0$
である。よって$n \geqq 4$に対して
$q_n=-q_{n-1}-q_{n-2}=(q_{n-2}+q_{n-3})-q_{n-2}=q_{n-3}$
が成立する。以上より、
$Q(x)=
\left\{
\begin{array}{1}q_1　(nを3で割った時の余りが1のとき)\\
q_2　(nを3で割った時の余りが2のとき)\\
q_3　　　　　　(nが3で割り切れるとき)\\
\end{array}
\right.$
とすれば求める確率は
$p_n=\frac{q_n}{2^n}+\frac{1}{7}=\frac{Q(n)}{2^n}+\frac{1}{7}　(n \geqq 4)$
である。また最初の2項は定義より$p_1=p_2=0$であり$p_n$の漸化式で$n=1$とすれば
$p_1+2p_2+4p_3=1$　であるから$p_3=\frac{1}{4}$である。さらに
$q_1=-\frac{2}{7},　q_2=-\frac{4}{7},　q_3=\frac{6}{7}$
である。したがって
$p_1=p_2=0,　p_3=\frac{1}{4},　p_n=\frac{Q(n)}{2^n}+\frac{1}{7}　(n \geqq 4)$
となる。

2022浜松医科大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
$Q$は$A$にいる。
サイコロを振って
$1$→時計回りに隣へ
$2$→反時計回りに隣へ
$3～6$→動かない

$n$回目に$A$にいる確率を$P_n$
（1）
$P_2$を求めよ

（2）
$P_{n+1}$を$P_n$で表せ

（3）
$P_n$を求めよ

出典：2020年大阪大学　過去問