問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{5}}$　正四面体$OABC$に対し、三角形$ABC$の外心を$M$とし、$M$を中心として点$A,B,C$
を通る球面を$S$とする。また、$S$と辺$OA,OB,OC$との交点のうち、$A,B,C$とは異なる
ものをそれぞれ$D,E,F$とする。さらに、$S$と三角形$OAB$の共通部分として得られる
弧$DE$を考え、その弧を含む円周の中心をGとする。$\overrightarrow{ a }=\overrightarrow{ OA },\ \overrightarrow{ b }=\overrightarrow{ OB },\ \overrightarrow{ c }=\overrightarrow{ OC }$
として、以下の問いに答えよ。
(1)$\overrightarrow{ OD },\ \overrightarrow{ OE },\ \overrightarrow{ OF },\ \overrightarrow{ OG }を\overrightarrow{ a },\ \overrightarrow{ b },\ \overrightarrow{ c }$を用いて表せ。

(2)三角形$OAB$の面積を$S_1$、四角形$ODGE$の面積を$S_2$とするとき、$S_1:S_2$を
できるだけ簡単な整数比により表せ。

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{4}}$tを実数とする。また、Oを原点とする座標空間内に
3点$A(4,2,5),\ B(-1,1,1),\ C(2-t,4-3t,6+2t)$をとる。
(1)$\triangle OAB$の面積を求めよ。
(2)4点O,A,B,Cが同一平面上にあるとき、Cの座標を求めよ。
(3)点Cがxy平面上にあるとき、四面体OABCの体積Vを求めよ。
(4)四面体OABCの体積が(3)で求めたVの3倍となるようなtの値を
すべて求めよ。

2022慶應義塾大学経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
四面体 $\mathrm{ABCD}$ において、$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = 3,$ $|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$ $=|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$$= |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|$$=|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|=4,$$|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|=5$であるとき $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ $=\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエ}},$ $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$ $=\frac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}},$ $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}$$=\frac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}$
ここで、頂点 $\mathrm{D}$ から $\triangle \mathrm{ABC}$ に下した垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると、$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ を用いて
$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$ $=\frac{\fbox{スセ}}{\fbox{ソタ}} \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ $+ \frac{\fbox{チツ}}{\fbox{テト}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ とあらわすことができる。
垂線 $\mathrm{DH}$ の長さは $\frac{\fbox{ナニ}}{\fbox{ヌネ}}\sqrt{\fbox{ノハ}}$ であるから、四面体 $\mathrm{ABCD}$ の体積は $\frac{\fbox{ヒフ}}{\fbox{ヘホ}}\sqrt{\fbox{マミ}}$ である。

問題文全文(内容文)：
鳥取大学過去問題
$l_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=z-4$
$l_2:\frac{x-2}{a^3}=\frac{y-3}{-b^2}=\frac{z-2}{b-1}$
$l_3:\frac{x-4}{-2a}=\frac{y-2}{b}=\frac{z-1}{a}$
A(1,2,4)　B(2,3,2)　C(4,2,1)
(1)A,B,Cを通る平面πの方程式
(2)$l_1$がπ上にある
(3)$l_2$,$l_3$がπ上にあるa,bの値

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$　点$A(1,2,4)$を通り、ベクトル$\ \overrightarrow{ n }=(-3,1,2)$に垂直な平面を$\alpha$とする。
平面$\alpha$に関して同じ側に2点$\ P(-2,1,7),Q(1,3,7)$がある。
平面$\alpha$上の点で、$PS+QS$を最小にする点$S$の座標と最小値を求めよ。