問題文全文(内容文)：
$\boxed{12}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}+\frac{2x}{y}$ $(x=e , y=e^2)$
x=1のときy(x>0)を求めよ。

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数Ⅲ(定積分で表された関数④・最大最小編)

①関数$f(x)=\int_0^1(e^t-xt)^2dt$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ。

②積分$\int_0^\frac{\pi}{2}(\sin x-kx)^2dx$の値を最小にする実数$k$の値と、そのときの積分値を求めよ。

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以下の問いに答えよ。なお、必要があれば以下の極限値の公式を用いてもよい。
$\lim_{x \to \infty}\frac{x}{e^x}=0$
(1)方程式$2^x=x^2　(x \gt 0)$の実数解の個数を求めよ。
(2)aを正の実数とし、xについての方程式$a^x=x^a　(x \gt 0)$を考える。
$(\textrm{a})$方程式$a^x=x^a　(x \gt 0)$の実数解の個数を求めよ。
$(\textrm{b})$方程式$a^x=x^a　(x \gt 0)$でa,xがともに正の整数となるa,xの組$(a,x)$
をすべて求めよ。ただし$a \ne x$とする。

2016浜松医科大学理系過去問

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積の微分の公式証明解説動画です

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$xy\dfrac{dy}{dx}=x^2+y^2$の一般項を求めよ.