問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{2}}$10進法で表したときm桁$(m \gt 0)$である正の整数nの第i桁目$(1 \leqq i \leqq m)$を
$m_i$としたとき、$i\neq j$のとき$n_i\neq n_j$であり、かつ、次の$(\textrm{a})$または$(\textrm{b})$のいずれか
が成り立つとき、nを10進法m桁のデコボコ数と呼ぶことにする。
$(\textrm{a})1 \leqq i \lt m$であるiに対して、
iが奇数の時$n_i \lt n_{i+1}$となり、
iが偶数の時$n_i \gt n_{i+1}$となる。
$(\textrm{b})1 \leqq i \lt m$であるiに対して、$i$が奇数の時$n_i \gt n_{i+1}$となり、
$i$が偶数の時$n_i \lt n_{i+1}$となる。

例えば、361は$(\textrm{a})$を満たす10進法3桁のデコボコ数であり、$52409$は$(\textrm{b})$を
満たす10進法5桁のデコボコ数である。なお、4191は$(\textrm{a})$を満たすが「$i\neq j$のとき
$n_i\neq n_j$である」条件を満たさないため、10進法4桁のデコボコ数ではない。
(1)nが10進法2桁の数$(10 \leqq n \leqq 99)$の場合、
$n_1\neq n_2$であれば$(\textrm{a})$または$(\textrm{b})$を
満たすため、10進法2桁のデコボコ数は$\boxed{\ \ アイ\ \ }$個ある。
(2)nが10進法3桁の数$(100 \leqq n \leqq 999)$の場合、$(\textrm{a})$を満たすデコボコ数は
$\boxed{\ \ ウエオ\ \ }$個、$(\textrm{b})$を満たすデコボコ数は$\boxed{\ \ カキク\ \ }$個あるため、
10進法3桁のデコボコ数は合計$\boxed{\ \ ケコサ\ \ }$個ある。
(3)nが10進法4桁の数$(1000 \leqq n \leqq 9999)$の場合、$(\textrm{a})$を満たすデコボコ数は
$\boxed{\ \ シスセソ\ \ }$個、$(\textrm{b})$を満たすデコボコ数は$\boxed{\ \ タチツテ\ \ }$個あるため、
10進法4桁のデコボコ数は合計$\boxed{\ \ トナニヌ\ \ }$個ある。また10進法4桁のデコボコ数
の中で最も大きなものは$\boxed{\ \ ネノハヒ\ \ }$、最も小さなものは$\boxed{\ \ フヘホマ\ \ }$である。

2022慶應義塾大学総合政策学部過去問

問題文全文(内容文)：
浜松医科大学過去問題
(1)4個のサイコロを投げて1,1,2,2のように同じ目がちょうど2個ずつでる確率
(2)n=4,5,6・・・としてn個のサイコロを投げて、少なくとも(n-2)個のサイコロに同じ目がそろって出る確率$P_n$
　また$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{P_n+1}{P_n}$

問題文全文(内容文)：

$\boxed{1}$

(4)$P$を平面上の正九角形とする。

$P$の異なる$2$つの頂点を通る直線をすべて考える。

これら$36$本の直線のうちの$3$本により平面上で

囲まれてできる正三角形の総数は$\boxed{エ}$である。

ただし、互いに合同でも位置の異なるものは

異なる三角形として数える。

$2025$年早稲田大学商学部過去問題

問題文全文(内容文)：

$\boxed{1}$

$1$個のさいころを$4$回続けて投げる

反復試行において、

さいころの出る目を順に$X_1,X_2,X_3,X_4$として、

$xy$平面上の$4$点$P_1,P_2,P_3,P_4$を

以下のように定める。

$1$.原点$O$から$x$軸の正の向きに$X_1$だけ進んだ位置に

ある点を$P_1$とする。

$2$.$P_1$から$y$軸の正の向きに$X_2$だけ進んだ位置に

ある点を$P_2$とする。

$3$.$P_2$から$x$軸の負の向きに$X_3$だけ進んだ位置に

ある点を$P_3$とする。

$4$.$P_3$から$y$軸の負の向きに$X_4$だけ進んだ位置に

ある点を$P_4$とする。

例えば、さいころの出た目が順に$3,2,5,5$ならば

$P_1,P_2,P_3,P_4$の座標はそれぞれ

$(3,0),(3,2),(-2,2),(-2,-3)$となる。

(1)$P_4$が$O$と一致する確率は$\dfrac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}}$である。

(2)線分$OP_1$と線分$P_3P_4$が共有点をもつ確率は

$\dfrac{\boxed{エオ}}{\boxed{カキク}}$である。

ただし、線分は両方の端点を含むものとする。

(3)$P_4$の座標が$(3,3)$である確率は

$\dfrac{\boxed{ケ}}{\boxed{コサシ}}$である。
　　　　

問題文全文(内容文)：
次の問題
問題
表面と裏面が出る確率がそれぞれであるコインを投げる試行を繰り返し、同
じ面が3回連続して出た時点で試行を終了する。n回投げ終えた段階で試行が
終了する確率 $p_n$を求めよ。
に対する次の答案Aについて以下の問いに答えよ。
(1) もし答案Aに誤りがあれば誤りを指摘し、その理由を述べよ。ただし、すでに
指摘してある誤った結論から論理的に導き出した結論を誤りとして指摘する必要
はない。誤りがないときは「誤りなし」と答えよ。
(2) 答案Aで導かれたp_nと正解の$p_n$とで値が異なるとき、値が異なる最小のnを
求め、そのnに対する正解のpnの値を答えよ。そのようなnがないときは
「すべて一致する」と答えよ。

答案A
自然数nに対して、コインをn回投げ終えた段階で、その後最短で試行が終了するために
必要な回数がk回($k \geqq 0$)である確率を$p_n(k)$とする。このとき、
kは0,1,2のいずれかであるから、確率の総和は
$p_n(0)+p_n(1)+p_n(2)=1$
である。また、$p_n(0)=p_n,p_{n+1}(0)=\frac{1}{2}p_n(1),p_{n+2}(0)=\frac{1}{4}p_n(2)$であるから漸化式
$p_n+2p_{n+1}+4p_{n+2}=1　(n \geqq 1)$
を得る。ここで$\frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1$なので、$q_n=2^n(p_n-\frac{1}{7})$とすれば
$q_n+q_{n+1}+q_{n+2}=0$
である。よって$n \geqq 4$に対して
$q_n=-q_{n-1}-q_{n-2}=(q_{n-2}+q_{n-3})-q_{n-2}=q_{n-3}$
が成立する。以上より、
$Q(x)=
\left\{
\begin{array}{1}q_1　(nを3で割った時の余りが1のとき)\\
q_2　(nを3で割った時の余りが2のとき)\\
q_3　　　　　　(nが3で割り切れるとき)\\
\end{array}
\right.$
とすれば求める確率は
$p_n=\frac{q_n}{2^n}+\frac{1}{7}=\frac{Q(n)}{2^n}+\frac{1}{7}　(n \geqq 4)$
である。また最初の2項は定義より$p_1=p_2=0$であり$p_n$の漸化式で$n=1$とすれば
$p_1+2p_2+4p_3=1$　であるから$p_3=\frac{1}{4}$である。さらに
$q_1=-\frac{2}{7},　q_2=-\frac{4}{7},　q_3=\frac{6}{7}$
である。したがって
$p_1=p_2=0,　p_3=\frac{1}{4},　p_n=\frac{Q(n)}{2^n}+\frac{1}{7}　(n \geqq 4)$
となる。

2022浜松医科大学医学部過去問