問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 定積分について述べた次の文章を読んで、後の問いに答えよ。\\
f(x)を整式とする。F'(x)=f(x)となるF(x)を1つ選び、\\
f(x)のaからbまでの定積分を\\
\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)　　　　　　　　　\ldots①\\
で定義する。定積分の値はF(x)の選び方によらずに定まる。\\
定積分は次の性質(A),(B),(C)をもつ。\\
(A)\int_a^b\left\{kf(x)+lg(x)\right\}dx=k\int_a^bf(x)dx+l\int_a^bg(x)dx\\
(B) a \leqq c \leqq bのとき、\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx=\int_a^bf(x)dx\\
(C)区間a \leqq x \leqq bにおいてg(x) \geqq h(x)ならば、\int_a^bg(x)dx \geqq \int_a^bh(x)dx\\
ただし、f(x),g(x),h(x)は整式、k,lは定数である。\\
以下、f(x)が区間0 \leqq x \leqq 1上で増加関数になる場合を考える。\\
nを自然数とする。定積分の性質\boxed{\ \ ア\ \ }を用い、定数関数に対する定積分の計算を行うと、\\
\frac{1}{n}f(\frac{i-1}{n}) \leqq \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx \leqq \frac{1}{n}f(\frac{i}{n})　　(i = 1,2,\ldots,n)　　　　　\ldots②\\
が成り立つことがわかる。S_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\frac{i-1}{n})とおくと、\\
不等式②と定積分の性質\boxed{\ \ イ\ \ }より次の不等式が成り立つ。\\
0 \leqq \int_0^1f(x)dx-S_n \leqq \frac{f(1)-f(0)}{n}　　　　　\ldots③\\
よって、nを限りなく大きくするとS_nは\int_0^1f(x)dxに限りなく近づく。\\
\\
\\
(1)関数F(x),G(x)が微分可能であるとき、\left\{F(x)+G(x)\right\}'=F'(x)+G'(x)が\\
成り立つことと定積分の定義①を用いて、性質(A)でk=l=1とした場合の等式\\
\int_a^b\left\{f(x)+g(x)\right\}dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx　を示せ。\\
(2)定積分の定義①と関数の増減と導関数の関係を用いて、次を示せ。\\
a \lt bのとき、区間a \leqq x \leqq bにおいてg(x) \gt 0ならば、\int_a^bg(x)dx \gt 0\\
(3)(A),(B),(C)のうち、空欄\boxed{\ \ ア\ \ }に入る記号として最もふさわしいものを\\
1つ選び答えよ。また、文章中の下線部の内容を詳しく説明することで、\\
不等式②を示せ。\\
(4)(A),(B),(C)のうち、空欄\boxed{\ \ イ\ \ }に入る記号として最もふさわしいものを\\
1つ選び答えよ。また、不等式③を示せ。\\
\end{eqnarray}

2022九州大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ $\pi$を円周率とする。$f(x)$=$x^2(x^2-1)$とし、$f(x)$の最小値を$m$とする。
(1)$m$=$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ シ\ \ }}{\boxed{\ \ ス\ \ }}$　である。
(2)$y$=$f(x)$で表される曲線を$y$軸の周りに1回転させてできる曲面でできた器に、$y$軸方向から静かに水を注ぐ。
(i)水面が$y$=$a$(ただし$m$≦$a$≦0)になったときの水面の面積は$\boxed{\ \ セ\ \ }$である。
(ii)水面が$y$=0になったときの水の体積は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }}\pi$　である。
(iii)上方から注ぐ水が単位時間あたり一定量であるとする。水面が$y$=0に達するまでは、水面の面積は、水を注ぎ始めてからの時間の$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$　乗に比例して大きくなる。
(iv)水面が$y$=2になったときの水面の面積は$\boxed{\ \ テ\ \ }\pi$であり、水の体積は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ト\ \ }}{\boxed{\ \ ナ\ \ }}\pi$　である。

問題文全文(内容文)：
【筑波大学 2023】
$a,b$を実数とし、$f(x)=x+asinx, g(x)=bcosx$とする。
(1) 定積分$\displaystyle \int_{-π}^{π}f(x)g(x)dx$を求めよ。
(2)不等式
$\displaystyle \int_{-π}^{π}\{f(x)+g(x)\}^2dx≧\int_{-π}^{π}\{f(x)\}^2dx$
が成り立つことを示せ。
(3) 曲線$y=|f(x)+g(x)|$, 2直線$x=-π, x=π,$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を$V$とする。このとき不等式
$\displaystyle V≧\frac{2}{3}π^2(π^2-6)$
が成り立つことを示せ。さらに、等号が成立するときの$a,b$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{-2}^{ 2 } (x^3 \cos \frac{x}{2}+\frac{1}{2}) \sqrt{ 4-x^2dx }$

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{5}}$ xy平面において、x座標とy座標がともに整数である点を格子点という。また、実数aに対して、a以下の最大の整数を[a]で表す。記号[ ]をガウス記号という。
以下の問いではNを自然数とする。
(1) nを0 $\leqq$ n $\leqq$ Nを満たす整数とする。点(n, 0)と点(n,　N$\sin\left(\displaystyle\frac{\pi x}{2N}\right)$)を結ぶ線分上にある格子点の個数をガウス記号を用いて表せ。
(2) 直線y=xと、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域(境界を含む)にある格子点の個数をA(N)とおく。このときA(N)を求めよ。
(3) 曲線y=N$\sin\left(\displaystyle\frac{\pi x}{2N}\right)$(0 $\leqq$ x $\leqq$ N)と、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域(境界を含む)にある格子点の個数をB(N)とおく。(2)のA(N)に対して$\displaystyle\lim_{N \to \infty}\frac{B(N)}{A(N)}$を求めよ。

2017筑波大学理系過去問