数学「大学入試良問集」【18−6 平均値の定理と不等式の証明】を宇宙一わかりやすく

問題文全文(内容文)：
以下の各問いに答えよ。
（1）
関数

f (x) = x l o g x

を微分せよ。

（2）
次の等式を満たす

c

が

x < c < x + 1

の範囲に存在することを示せ。

(x + 1) l o g (x + 1) - x l o g x = 1 + l o g c

（3）

x > 0

のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
ただし

e

は自然対数の底である。

{[1 + \frac{1}{x}]}^{x} < e

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#姫路工業大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
以下の各問いに答えよ。
（1）
関数

f (x) = x l o g x

を微分せよ。

（2）
次の等式を満たす

c

が

x < c < x + 1

の範囲に存在することを示せ。

(x + 1) l o g (x + 1) - x l o g x = 1 + l o g c

（3）

x > 0

のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
ただし

e

は自然対数の底である。

{[1 + \frac{1}{x}]}^{x} < e

投稿日：2021.07.06

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(3)閉区間[0,1]上で定義された連続関数

h (x)

が、開区間(0,1)で微分可能であり、この区間で常に

h^{'} (x)

＜0であるとする。このとき、

h (x)

が区間[0,1]で減少することを、平均値の定理を用いて証明しなさい。

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問題文全文(内容文)：

1

曲線

y

a x^{2}

b

上に

x

座標が

p

である点Pをとり、点Pにおける接線を

l

とする。ただし、定数

a

b

は

a

>0,

b

>0とする。次の問いに答えよ。
(1)接線

l

の方程式を

a

b

p

を用いて表せ。
(2)接線

l

と曲線

y

a x^{2}

で囲まれた図形の面積Sを

a

b

を用いて表せ。
(3)接線

l

と曲線

y

a x^{2}

\frac{b}{2}

で囲まれた図形の面積をS'としたとき、S'をSを用いて表せ。
(4)接線

l

と曲線

y

a x^{2}

c

で囲まれた図形の面積をS''とする。S"=

\frac{S}{2}

のとき、

c

を

a

b

を用いて表せ。ただし、

b

c

とする。

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問題文全文(内容文)：

f (x) = \sqrt{x + \sqrt{x^{2} - 9}}

f ‘_{(5)} =

を求めよ.

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問題文全文(内容文)：

n

を2以上の自然数とする。三角形

A B C

において,辺

A B

の長さを

c

,辺

C A

の長さを

b

で表す。

∠ A C B = n ∠ A B C

であるとき,

c < n b

を示せ。

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問題文全文(内容文)：
関数

f (x) = \sqrt{1 - 2 \cos x} - \frac{1}{2} x

について以下の問いに答えよ。
(1)

f^{'} (x)

を求めよ。
(2)

f^{'} (x) > 0

となるxの値の範囲を求めよ。
(3)f(x)の増減を調べ、極値を求めよ。

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