福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第2問〜重複順列と連立漸化式 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第2問〜重複順列と連立漸化式

問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{2}$ $n$を自然数とし、数1, 2, 4を重複を許して$n$個並べてできる$n$桁の自然数全体を考える。そのうちで3の倍数となるものの個数を$a_n$、3で割ると1余るものの個数を$b_n$、3で割ると2余るものの個数を$c_n$とする。
(1)$a_{n+1}$を$b_n$, $c_n$を用いて表せ。同様に$b_{n+1}$を$a_n$, $c_n$を用いて、$c_{n+1}$を$a_n$, $b_n$を用いて表せ。
(2)$a_{n+2}$を$n$と$c_n$を用いて表せ。
(3)$a_{n+6}$を$n$と$a_n$を用いて表せ。
(4)$a_{6m+1} (m=0,1,2,...)$を$m$を用いて表せ。
単元: #数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師: JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{2}$ $n$を自然数とし、数1, 2, 4を重複を許して$n$個並べてできる$n$桁の自然数全体を考える。そのうちで3の倍数となるものの個数を$a_n$、3で割ると1余るものの個数を$b_n$、3で割ると2余るものの個数を$c_n$とする。
(1)$a_{n+1}$を$b_n$, $c_n$を用いて表せ。同様に$b_{n+1}$を$a_n$, $c_n$を用いて、$c_{n+1}$を$a_n$, $b_n$を用いて表せ。
(2)$a_{n+2}$を$n$と$c_n$を用いて表せ。
(3)$a_{n+6}$を$n$と$a_n$を用いて表せ。
(4)$a_{6m+1} (m=0,1,2,...)$を$m$を用いて表せ。
投稿日:2024.05.10

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問題文全文(内容文):
$3x^2-6x+2=0$の2つの解を$\alpha,\beta$
$A_{n}=(\alpha^{-n}+\beta^{-n})(\alpha+\beta)^n$

(1)
$A_{1},A_{2}$の値を求めよ

(2)
$A_{n}$はすべての自然数$n$について整数であることを示せ

出典:2009年お茶の水女子大学 過去問
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問題文全文(内容文):
$n$個の正の数$a_1,a_2,\cdots,a_n$に対して

$\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$ \geqq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\\$
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問題文全文(内容文):
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_1=0 \\
a_{n+1}+a_n=2n^2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
で定まる数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ。

出典:2024年北海道大学
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指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
$x^2-4x+1=0$の2つの解を$\alpha,\beta(\alpha \gt \beta)$とする

(1)
$\alpha^n + \beta^n$は偶数であることを示せ($n$自然数)

(2)
$[ \alpha^n ]$は奇数であることを示せ
$[ \alpha^n ]$は$\alpha^n$をこえない最大の整数

出典:2018年香川大学 医学部 過去問
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