問題文全文(内容文)：
$x^2-4x+1=0$の解を$\alpha,\beta(\alpha \gt \beta)$とする.

(1)$\alpha^n+\beta^m$は偶数であることを示せ.
(2)$[\alpha^n]$は奇数であることを示せ.

2018香川(医)過去問

問題文全文(内容文)：
座標平面上に 3 点 $A_{0} ( 0 , 0 ), B_{0} ( 2 , 0 ), C_{0}( 1 ,\sqrt{ 3 })$があり、線分$A_{0}B_{0},B_{0}C_{0},C_{0}A_{0}$をそれぞれ 2 : 1 に内分する点 $A_{1} ,B_{1} ,C_{1}$をとる。以下同様にして、正の整数nに対し、線分$A_{n}B_{n},B_{n}C_{n},C_{n}A_{n}$をそれぞれ 2 : 1 に内分する点$A_{n+1},B_{n+1},C_{n+1}$をとる。また、$\overrightarrow{ P_{n} }=\overrightarrow{ B_{n-1}B_{n} }(n=1,2,3,・・・)$とおく。
(1)$\overrightarrow{ p_{1} },\overrightarrow{ p_{2} }$をそれぞれ成分表示せよ。
(2)$\overrightarrow{ p_{n+2} }を\overrightarrow{ p_{n} }$を用いて表せ。
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \overrightarrow{ p_{2k-1}}$を$\overrightarrow{ p-1}$を用いて表せ。
(4)点B_{2n}の座標を求めよ。

2023北里大学医過去問

問題文全文(内容文)：
1から200までの整数のうち,次のような数の和を求めよう.

①4の倍数

②4で割り切れない数

③30から100までの自然数のうち,
4または6の倍数の数の和を求めよう.

問題文全文(内容文)：
2008東北大学過去問題
$a_1=2 \quad a_{n+1}=\frac{4a_n+1}{2a_n+3}$
(1)$b_n = \frac{a_n+β}{a_n+α}$として$\{ b_n \}$が等比数列となるようなα,β(α>β)を1組求めよ。
(2)$\{ a_n \}$の一般項$a_n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
関数f(x)は実数全体で定義されており、$x\leqq 2$において
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}x\leqq f(x)\leqq 2-x$
を満たしているものとする。数列{$a_{ n }$}は漸化式
$a_{ n+1 }=a_{ n }+f(a_{ n })$
を満たしているものとする。
(i)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、すべての自然数nに対して、$a_{ 1 } \leqq a_{ n }\leqq2$となる事を証明しなさい。
(ii)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、$a_{ 1 }$の値によらず$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = 2$となる事を証明しなさい。